Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tenemos un polígono de $n$ lados cuyos ángulos interiores son todos iguales y tal que las longitudes de los lados consecutivos cumplen la relación \[a_1\geq a_2\geq\ldots\geq a_n.\] Demostrar que $a_1=a_2=\ldots=a_n$.

Se tiene un segmento $BC$ y un punto $A$ en el espacio. Hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio que son vértices de ángulos rectos con uno de sus lados pasando por $A$ y el otro lado cortando al segmento $BC$.

Una pirámide $SABC$ de base triangular tiene la siguiente propiedad: existen cinco esferas, cada una de ellas tangente a las rectas que contienen a las seis aristas $SA, SB, SC, BC, CA, AB$.

1. Demostrar que la pirámide es un tetraedro regular.
2. Recíprocamente, demostrar que cualquier tetraedro regular tiene dicha propiedad.

En un triángulo isósceles, sea $r$ el radio de la circunferencia circunscrita y $\rho$ el radio de la circunferencia insrita. Demostrar que la distancia $d$ entre los centros de estas dos circunferencias viene dada por \[d=\sqrt{r(r-2\rho)}.\]

Sobre un círculo $K$ se colocan tres puntos $A$, $B$ y $C$. Construir usando regla y compás un cuarto punto $D$ sobre $K$ tal que el cuadrilátero $ABCD$ admita una circunferencia inscrita.