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Problema 1557
Dadas dos rectas paralelas $r$ y $s$ y un punto $P$ sobre el plano que las contiene y no está sobre ellas. Determinar un triángulo equilátero que tenga por vértice el punto $P$ y los otros dos uno sobre cada una de las dos rectas.
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Pista. Usar una rotación de $60^\circ$ puede ser muy útil.
Solución. Consideremos una rotación de $60^\circ$ con centro en $P$ y sea $r'$ la imagen de $r$ por dicha rotación. Como $r'$ y $s$ no son paralelas, se cortarán en un cierto punto $Q'$ de $s$, que será el rotado de un cierto punto $Q$ de $r$ por construcción. Se tiene entonces que $PQQ'$ es el triángulo equilátero que buscamos.
Nota. Para cualquier punto $P$ hay exactamente dos triángulos en las condiciones dadas: el que se obtiene girando en sentido horario y el que se obtiene girando en sentido antihorario.
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Problema 1555
Sea un prisma hexagonal regular. ¿Cuál es la poligonal que, partiendo de un vértice de la base, recorre todas las caras laterales y acaba en el vértice de la cara superior, situado en la misma arista que el vértice de partida y tiene longitud mínima.
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Pista. Desarrolla la superficie lateral del prisma.
Solución. Cortando la superficie lateral del prisma por la arista que contiene al vértice, desarrollamos un rectángulo (que hay que doblar en seis partes iguales para formar de nuevo el prisma). Ahora la poligonal que nos piden es una curva que debe unir una esquina del rectángulo con la esquina opuesta y la curva más corta que lo hace es la línea recta. Por tanto, basta con dibujarla y volver a doblar el rectángulo.
En otras palabras, la poligonal de longitud mínima es la que sube exactamente $\frac{1}{6}$ de la altura al pasar por cada una de las seis caras.
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Problema 1546
ASU, 1971-P9
Un polígono $P$ admite un círculo inscrito tangente a todos sus lados y de centro $O$. Si una recta $r$ divide a $P$ en dos polígonos con igual área, demuestra que $r$ pasa por $O$.
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Problema 1544
ASU, 1971-P7
Tenemos un sólido en el espacio que cumple que sus proyecciones ortogonales sobre dos planos distintos son círculos. Demostrar que ambos círculos tienen el mismo radio.
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Problema 1539
ASU, 1971-P2
- Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo. Se eligen puntos $B_1,B_2,B_3$ en $A_1A_2,A_2A_3,A_3A_1$, respectivamente, y puntos $D_1,D_2,D_3$ en $A_3A_1,A_1A_2,A_2A_3$, respectivamente. Se definen los puntos $C_1,C_2,C_3$ para que $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$ y $A_3B_3C_3D_3$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_1C_1,A_2C_2,A_3C_3$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdot A_3B_3=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdot A_3D_3.\]
- Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígno convexo y elegimos puntos $B_i$ en $A_iA_{i+1}$ y puntos $D_i$ en $A_{i-1}A_i$ para todo $1\leq i\leq n$ (siendo $A_{n+1}=A_1$. Se eligen los puntos $C_i$ para que $A_iB_iC_iD_i$ sean paralelogramos. Demostrar que, si las rectas $A_iC_i$ son concurrentes, entonces \[A_1B_1\cdot A_2B_2\cdots A_nB_n=A_1D_1\cdot A_2D_2\cdots A_nD_n.\]
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