Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo isósceles, sea $r$ el radio de la circunferencia circunscrita y $\rho$ el radio de la circunferencia insrita. Demostrar que la distancia $d$ entre los centros de estas dos circunferencias viene dada por \[d=\sqrt{r(r-2\rho)}.\]

Sobre un círculo $K$ se colocan tres puntos $A$, $B$ y $C$. Construir usando regla y compás un cuarto punto $D$ sobre $K$ tal que el cuadrilátero $ABCD$ admita una circunferencia inscrita.

Consideremos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ de forma que $ABCD$ y $A'B'C'D'$ son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas $AA',BB',CC',DD'$ son paralelas. Un punto $X$ se mueve a velocidad constante a lo largo del perímetro del cuadrado $ABCD$ siguiendo el sentido $A\to B\to C\to D\to A$ y un punto $Y$ se mueve con la misma velocidad a lo largo del perímetro del cuadrado $ B'C'CB$ siguiendo el sentido $B'\to C'\to C\to B\to B'$. Los puntos $X$ e $Y$ inician su movimiento en el mismo instante desde las posiciones iniciales $A$ y $B'$, respectivamente. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$ a lo largo del movimiento.

Sea $\varepsilon$ un plano y $A,B,C$ tres puntos en el espacio al mismo lado de $\varepsilon$ que no están alineados y tales que el plano que determinan no es paralelo a $\varepsilon$. Tomamos tres puntos $A',B',C'$ en el plano $\varepsilon$ y los puntos medios $L,M,N$ de los segmentos $AA',BB',CC'$, respectivamente. Sea $G$ el baricentro del triángulo $LMN$. Hallar el lugar geométrico de $G$ cuando $A',B',C'$ se mueven libremente en el plano $\varepsilon$.

Construir un triángulo $ABC$ conociendo $AC=b$, $AB=c$ y $\angle AMB=\omega$, donde $M$ representa al punto medio del lado $BC$ y $\omega\lt 90^\circ$. Demostrar que el problema tiene solución si y solo si \[b\tan\tfrac{\omega}{2}\leq c\lt b.\] ¿En casos se obtiene la igualdad en la desigualdad anterior?