Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ de forma que $ABCD$ y $A'B'C'D'$ son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas $AA',BB',CC',DD'$ son paralelas. Un punto $X$ se mueve a velocidad constante a lo largo del perímetro del cuadrado $ABCD$ siguiendo el sentido $A\to B\to C\to D\to A$ y un punto $Y$ se mueve con la misma velocidad a lo largo del perímetro del cuadrado $ B'C'CB$ siguiendo el sentido $B'\to C'\to C\to B\to B'$. Los puntos $X$ e $Y$ inician su movimiento en el mismo instante desde las posiciones iniciales $A$ y $B'$, respectivamente. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$ a lo largo del movimiento.

Sea $\varepsilon$ un plano y $A,B,C$ tres puntos en el espacio al mismo lado de $\varepsilon$ que no están alineados y tales que el plano que determinan no es paralelo a $\varepsilon$. Tomamos tres puntos $A',B',C'$ en el plano $\varepsilon$ y los puntos medios $L,M,N$ de los segmentos $AA',BB',CC'$, respectivamente. Sea $G$ el baricentro del triángulo $LMN$. Hallar el lugar geométrico de $G$ cuando $A',B',C'$ se mueven libremente en el plano $\varepsilon$.

Construir un triángulo $ABC$ conociendo $AC=b$, $AB=c$ y $\angle AMB=\omega$, donde $M$ representa al punto medio del lado $BC$ y $\omega\lt 90^\circ$. Demostrar que el problema tiene solución si y solo si \[b\tan\tfrac{\omega}{2}\leq c\lt b.\] ¿En casos se obtiene la igualdad en la desigualdad anterior?

Consideremos el triángulo $P_1P_2P_3$ y un punto $P$ en su interior. Las rectas $P_1P,P_2P,P_3P$ cortan a los lados opuestos en los puntos $Q_1,Q_2,Q_3$, respectivamente. Demostrar que, de entre los números \[\frac{P_1P}{PQ_1},\ \ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \ \frac{P_3P}{PQ_3},\] al menos uno es menor o igual que $2$ y al menos uno es mayor o igual que $2$.

Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo y $T$ su área. Demostrar que \[a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}T.\] ¿En qué casos se alcanza la igualdad?