Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos el triángulo $P_1P_2P_3$ y un punto $P$ en su interior. Las rectas $P_1P,P_2P,P_3P$ cortan a los lados opuestos en los puntos $Q_1,Q_2,Q_3$, respectivamente. Demostrar que, de entre los números \[\frac{P_1P}{PQ_1},\ \ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \ \frac{P_3P}{PQ_3},\] al menos uno es menor o igual que $2$ y al menos uno es mayor o igual que $2$.

Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo y $T$ su área. Demostrar que \[a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}T.\] ¿En qué casos se alcanza la igualdad?

Consideremos un trapecio isósceles con bases $a$ y $c$ y altura $h$.

1. Hallar los puntos $P$ sobre el eje de simetría del trapecio tales que ambos catetos del trapecio son subtendidos por ángulos rectos con vértice en $P$.
2. Calcular las distancias de $P$ a ambas bases.
3. Determinar bajo qué condiciones los puntos $P$ existen realmente y discutir los distintos casos que pueden aparecer.

Consideremos un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Se circunscribe un cilindro a esta esfera de forma que una de sus bases está contenida en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro.

1. Demostrar que $V_1\neq V_2$.
2. Hallar el menor número $k$ para el que $V_1=kV_2$. Para este valor de $k$, hallar el ángulo con vértice en el vértice del cono y que subtiende un diámetro de la base del cono.

Consideramos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ con la cara $A'B'C'D'$ directamente encima de la cara $ABCD$.

1. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$, donde $X$ e $Y$ son puntos que se mueven en $AC$ y $B'D'$, respectivamente.
2. Hallar el lugar geométrico de los puntos $Z$ del segmento $XY$ del apartado (a) con $ZY=2XZ$.