Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideramos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ con la cara $A'B'C'D'$ directamente encima de la cara $ABCD$.

1. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$, donde $X$ e $Y$ son puntos que se mueven en $AC$ y $B'D'$, respectivamente.
2. Hallar el lugar geométrico de los puntos $Z$ del segmento $XY$ del apartado (a) con $ZY=2XZ$.

Construir con regla y compás un triángulo $ABC$ conocidas $h_a$ y $h_b$ (las alturas sobre los lados $a$ y $b$, respectivamente) y $m_a$ (la mediana que pasa por el punto medio del lado $a$).

En un triángulo rectángulo $ABC$, la hipotenusa $BC$ tiene longitud $a$ y se divide en $n$ segmentos iguales, siendo $n$ un entero impar. Sea $\alpha$ el ángulo agudo con vértice en $A$ y que subtiende al segmento central (el que contiene el punto medio de la hipotenusa). Sea $h$ la altura del triángulo sobre la hipotenusa. Demostrar que \[\tan(a)=\frac{4nh}{(n^2-1)a}.\]

Dos planos $P$ y $Q$ se cortan en una recta $p$. Sean $A$ un punto de $P$ y $C$ un punto de $Q$, ninguno de los cuales está en $p$. Construir un trapezoide isósceles $ABCD$ (con $AB$ paralelo a $CD$) que admita circunferencia inscrita y con los vértices $B$ y $D$ sobre los planos $P$ y $Q$, respectivamente.

Se elige un punto arbitrario $M$ en el interior de un segmento $AB$. Se toman cuadrados $AMCD$ y $MBEF$ al mismo lado de $AB$, siendo los segmentos $AM$ y $MB$ sus bases. Las circunferencias circunscritas a estos cuadrados, con centros en $P$ y $Q$, se cortan en $M$ y también en otro punto $N$. Sea $N'$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$.

1. Demostrar que los puntos $N$ y $N'$ coinciden.
2. Demostrar que la recta $MN$ pasa por un punto $S$ al variar $M$.
3. Encontrar el lugar geométrico del punto medio del segmento $PQ$ al variar $M$.