Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y llamemos $I$ a su incentro. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y supongamos que $IM$ y $AH$ se cortan en un punto $E$. Demostrar que $AE$ es igual al radio de la circunferencia inscrita.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y supongamos que la bisectriz $AD$, la mediana $BM$ y la altura $CH$ concurren en un punto. Demostrar que $\angle BAC\gt 45^\circ$.

¿Cuál es el mayor valor de $n$ para el que, en un polígono regular de $n$ lados, la longitud del lado es igual a la longitud de la diagonal más larga?

Sea $AB$ el diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $C$ un punto sobre $AB$. Construir dos puntos $X$ e $Y$ en $\Gamma$ simétricos respecto de $AB$ y tales que $YC$ es perpendicular a $XA$.

Sea $M$ un punto sobre el lado $AB$ de un triángulo $ABC$. Sean $r_1$, $r_2$ y $r$ los radios de las circunferencias inscritas de los triángulos $AMC$, $BMC$ y $ABC$. Sean $q_1$, $q_2$ y $q$ los radios de las circunferencias exinscritas de dichos triangulos que caen en el interior del ángulo $\angle ACB$. demostrar que \[\frac{r_1r_2}{q_1q_2}=\frac{r}{q}.\]