Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Cualquier corte de un polígono convexo es a lo largo de un segmento que une dos vértices, un vértice con un punto interior de un lado o bien dos puntos interiores de dos lados. Tras hacer el corte, quedan dos polígonos que tienen entre ambos a lo sumo $n+3$ lados (en el caso de cortar por puntos interiores de dos lados) y uno de ellos tendrá a lo sumo $\frac{n+3}{2}$ lados, pero $\frac{n+3}{2}\leq 4$ para $n\geq 5$, luego una de las piezas no podrá ser semejante al original simplemente porque tiene menos lados.

En el caso de un triángulo $ABC$, la única forma de que tras cortar queden dos triángulos es cortar por un segmento que una un vértice, pongamos $A$, con un punto interior $P$ del lado opuesto $BC$. Si $AP$ no es ortogonal a $BC$, entonces uno de los ángulos $\angle APB$ o $\angle APC$ será obtuso y sumará con el otro $180^\circ$. Por tanto, cada uno de los dos triángulos deberá tener dos ángulos que sumen $180^\circ$ y esto es imposible. Deducimos entonces que $AP$ es perpendicular a $BC$ y esto nos lleva a cualquier triángulo rectángulo cortado por la altura sobre su hipotenusa (¿sabrías justificarlo rigurosamente?).

En el caso de un cuadrilátero $ABCD$, para obtener de nuevo cuadriláteros debemos cortar por el segmento que une dos puntos interiores de lados opuestos, pongamos $P$ en $AB$ y $Q$ en $CD$. Los dos cuadriláteros pequeños comparten dos ángulos con el grande y los otros dos ángulos de los pequeños deben tener la misma amplitud que los restantes del grande, no obstante, el corte forma dos ángulos que suman $180^\circ$. Por tanto, el cuadrilátero grande debe tener dos pares de ángulos iguales suplementarios, que nos lleva a que debe ser o bien un trapecio isósceles o bien un paralelogramo. El primer caso se descarta fácilmente ya que entonces uno de los cuadriláteros pequeños debería ser un paralelogramo y el grande no lo es. En el segundo caso, $PQ$ debe ser paralela a $AD$ y $BC$, luego la semejanza nos lleva a que deba ser $\frac{AB}{BC}=\frac{PQ}{AP}=\frac{PQ}{BP}$. La última proporción nos lleva directamente a que $AP=PB$, luego $P$ y $Q$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$, respectivamente. Como $PQ=BC$, la primera proporción nos dice que $BC^2=AB\cdot AP=\frac{1}{2}AP^2$. Obtenemos así todos los paralelogramos cuyos lados están en proporción $\sqrt{2}$ cortados por el segmento que une los puntos medios de sus lados mayores.