Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. La circunferencia circunscrita de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABO$ y $MNC$ tienen el mismo radio.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Se eligen puntos $K, L, M, N$ en los lados $AB, BC, CD, DA$, respectivamente, de manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demostrar que la intersección de $KM$ y $LN$ está sobre $BD$.

Dos circunferencias desiguales se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca las circunferencias en $P$ y $Q$. Demuestra que $ZX$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $PXQ$.

Dado un punto $X$ y $n$ vectores $x_1,x_2,\ldots,x_n$ en el plano cuya suma es cero, para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = x_1$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = x_2$, y así sucesivamente. Demuestra que existe una permutación tal que podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con $\angle YXZ = 60^\circ$, de manera que todos los puntos queden en el interior o en el perímetro del triángulo $XYZ$.