Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos planos $P$ y $Q$ se cortan en una recta $p$. Sean $A$ un punto de $P$ y $C$ un punto de $Q$, ninguno de los cuales está en $p$. Construir un trapezoide isósceles $ABCD$ (con $AB$ paralelo a $CD$) que admita circunferencia inscrita y con los vértices $B$ y $D$ sobre los planos $P$ y $Q$, respectivamente.

Se elige un punto arbitrario $M$ en el interior de un segmento $AB$. Se toman cuadrados $AMCD$ y $MBEF$ al mismo lado de $AB$, siendo los segmentos $AM$ y $MB$ sus bases. Las circunferencias circunscritas a estos cuadrados, con centros en $P$ y $Q$, se cortan en $M$ y también en otro punto $N$. Sea $N'$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$.

1. Demostrar que los puntos $N$ y $N'$ coinciden.
2. Demostrar que la recta $MN$ pasa por un punto $S$ al variar $M$.
3. Encontrar el lugar geométrico del punto medio del segmento $PQ$ al variar $M$.

Construir con regla y compás un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa $c$ y que la mediana que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa es la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

En un triángulo se traza una recta tangente a la circunferencia inscrita que es paralela a uno de los lados y corta a los otros dos en los puntos $X$ e $Y$. ¿Cuál es la mayor distancia posible $XY$ en términos del perímetro del triángulo?

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos medios de los arcos $BC$, $AC$ y $AB$ de $\Gamma$ que no contienen a $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Supongamos que $YZ$ corta a $AB$ en $D$ y que $XY$ corta a $BC$ en $E$. Demostrar que $DE$ es paralela a $AC$ y que pasa por el incentro de $ABC$.