Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Construir con regla y compás un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa $c$ y que la mediana que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa es la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

En un triángulo se traza una recta tangente a la circunferencia inscrita que es paralela a uno de los lados y corta a los otros dos en los puntos $X$ e $Y$. ¿Cuál es la mayor distancia posible $XY$ en términos del perímetro del triángulo?

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos medios de los arcos $BC$, $AC$ y $AB$ de $\Gamma$ que no contienen a $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Supongamos que $YZ$ corta a $AB$ en $D$ y que $XY$ corta a $BC$ en $E$. Demostrar que $DE$ es paralela a $AC$ y que pasa por el incentro de $ABC$.

Un círculo de centro $O$ está inscrito en un cuadrilátero $ABCD$. Demostrar que \[\angle AOB+\angle COD=180^\circ.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $A'$ y $C'$, respectivamente, los pies de las perpendiculares por $A$ y $C$ a la diagonal $BD$ y sean $B'$ y $D'$, respectivamente, los pies de las perpendiculares por $B$ y $D$ a la diagonal $AC$. Demostrar que el cuadrilátero $A'B'C'D'$ es semejante a $ABCD$.