Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1191
ASU, 1965-P7
En un triángulo se traza una recta tangente a la circunferencia inscrita que es paralela a uno de los lados y corta a los otros dos en los puntos $X$ e $Y$. ¿Cuál es la mayor distancia posible $XY$ en términos del perímetro del triángulo?
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Problema 1187
ASU, 1965-P3
Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos medios de los arcos $BC$, $AC$ y $AB$ de $\Gamma$ que no contienen a $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Supongamos que $YZ$ corta a $AB$ en $D$ y que $XY$ corta a $BC$ en $E$. Demostrar que $DE$ es paralela a $AC$ y que pasa por el incentro de $ABC$.
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Problema 1181
ASU, 1964-P10
Un círculo de centro $O$ está inscrito en un cuadrilátero $ABCD$. Demostrar que
\[\angle AOB+\angle COD=180^\circ.\]
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Problema 1179
ASU, 1964-P7
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $A'$ y $C'$, respectivamente, los pies de las perpendiculares por $A$ y $C$ a la diagonal $BD$ y sean $B'$ y $D'$, respectivamente, los pies de las perpendiculares por $B$ y $D$ a la diagonal $AC$. Demostrar que el cuadrilátero $A'B'C'D'$ es semejante a $ABCD$.
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Problema 1177
ASU, 1964-P5
- Un hexágono $ABCDEF$ tiene todos sus ángulos iguales. Demostrar que \[AB-DE=EF-BC=CD-FA.\]
- Dados seis números reales positivos $a_1,\ldots, a_6$ tales que $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$, demostrar que se puede construir un hexágono con lados de longitudes $a_1,\ldots,a_6$ y ángulos iguales.
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