Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un pentágono con sus cinco lados iguales.

1. Demostrar que hay un punto $X$ sobre la diagonal más larga tal que cada lado del pentágono se ve con un ángulo de a lo sumo $90^\circ$.
2. Demostrar que los cinco círculos que tienen por diámetros los lados del pentágono no cubren todo el pentágono.

Se tienen $n$ puntos en el espacio tales que el triángulo que forman tres cualesquiera de ellos tiene un ángulo mayor que $120^\circ$. Demostrar que los puntos pueden etiquetarse con números enteros del $1$ al $n$ de forma que el ángulo que forman los vértices $i$, $i+1$ e $i+2$ es mayor que $120^\circ$ para todo $1\leq i\leq n-2$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $BC$ paralelo a $AD$, se tiene un punto $E$ en el segmento $AD$ tal que los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demostrar que $BC=\frac{1}{2}AD$.

Se tiene una semicircunferencia $\gamma$ con diámetro $AB$ y $C$ un punto sobre $\gamma$ distinto de $A$ y $B$. Sea $D$ el pie de la perpendicular a $AB$ que pasa por $C$. Consideramos tres círculos $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tangentes a la recta $AB$, de forma que $\gamma_1$ está inscrito en el triángulo $ABC$, mientras que $\gamma_2$ y $\gamma_3$ son ambos tangentes a $CD$ y a $\gamma$, uno a cada lado de $CD$. Demostrar que $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ tienen una recta tangente común distinta de $AB$.

Para cada entero $1\leq k\leq 5$, encontrar condiciones necesarias y suficientes para que un número $a\gt 0$ cumpla que existe un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y $6-k$ aristas de longitud $1$.