Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1177
ASU, 1964-P5
- Un hexágono $ABCDEF$ tiene todos sus ángulos iguales. Demostrar que \[AB-DE=EF-BC=CD-FA.\]
- Dados seis números reales positivos $a_1,\ldots, a_6$ tales que $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$, demostrar que se puede construir un hexágono con lados de longitudes $a_1,\ldots,a_6$ y ángulos iguales.
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Problema 1175
ASU, 1963-P14
Dado un triángulo isósceles, encontrar el lugar geométrico de los puntos $P$ interiores al triángulo tales que la distancia de $P$ al lado desigual coincide con la media geométrica de las distancias a los dos lados iguales.
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Problema 1174
ASU, 1963-P9
Dado un triángulo $ABC$, la recta que pasa por $C$ paralela a la bisectriz del ángulo $B$ corta a la bisectriz del ángulo $A$ en $D$ y la recta que pasa por $C$ paralela a la bisectriz del ángulo $A$ corta a la bisectriz de $B$ en $E$. Si $DE$ es paralela a $AB$, probar que $AC=BC$.
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Problema 1172
ASU, 1963-P6
Encontrar el menor valor de $x$ tal que para cualquier punto $P$ en el interior de un triángulo equilátero de lado $1$ siempre podemos encontrar dos puntos en los lados del triángulo alineados con $P$ y a distancia $x$ el uno del otro.
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Problema 1171
ASU, 1963-P5
Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos de una circunferencia $\Gamma$. Dado otro punto $M$ en $\Gamma$, sean $K$ el punto medio de $BM$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $K$ a $AM$.
- Demostrar que $KP$ pasa por un punto fijo cuando varía $M$.
- Hallar el lugar geométrico de $P$ cuando varía $M$.
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