Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los lados de un triángulo $ABC$ cumplen \[0\leq AB\leq 1\leq BC\leq 2\leq CA\leq 3.\] ¿Cuál es mayor valor posible del área de $ABC$?

En un triángulo $ABC$ con $AB=BC$, sea $M$ el punto medio de $AC$. Sea $H$ el pie de la perpendicular a $AC$ que pasa por $M$ y sea $P$ el punto medio de $MH$. Demostrar que $AH$ es perpendicular a $BP$.

Sea $M$ un punto arbitrario en un pentágono regular $ABCDE$ de lado $1$ o en su interior. Denotamos por $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$ a las distancias de $M$ a los vértices del pentágono, ordenadas de forma que $r_1\leq r_2\leq r_3\leq r_4\leq r_5$.

1. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $M$ que dan el menor valor posible a $r_3$.
2. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $M$ que dan el mayor valor posible a $r_3$.

Construir un triángulo $ABC$ conociendo las longitudes de los lados $AB$ y $BC$ y el hecho de que las medianas a estos dos lados son perpendiculares.

Dado un círculo $C$ y una recta $r$ que pasa por su centro $O$, consideremos un punto variable $P$ en $r$. Sea $K$ el círculo centrado en $P$ que pasa por $O$ y sea $T$ el punto donde una recta tangente común a $C$ y $K$ toca a $K$. Hallar el lugar geométrico de $T$ al variar $P$.