Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un cuadrado cuyo lado mide $a$, se considera el conjunto de todos los puntos de su plano por los que pasa una circunferencia de radio $a$ cuyo círculo contenga al cuadrado citado. Probar que el contorno de la figura formada por los puntos con esa propiedad está formado por arcos de circunferencia y determinar las posiciones de sus centros, sus radios y sus longitudes.

Se tiene un triángulo equilátero $ABC$ de centro $O$ y radio $OA=R$ y se consideran las siete regiones que las rectas que contienen los lados determinan sobre el plano. Se pide dibujar y describir la región del plano tansformada de las dos regiones sombreadas en la figura por la inversión de centro $O$ y potencia $R^2$.

Sea $\gamma$ una semicircunferencia de diámetro $AB$. Se construye una línea poligonal con origen en $A$ y que tiene sus vértices alternativamente en el diámetro $AB$ y en la semicircunferencia $\gamma$, de modo que sus lados forman ángulos iguales $\alpha$ con el diámetro, como se muestra en la figura.

1. Hallar los valores del ángulo $\alpha$ para que la poligonal pase por el otro extremo $B$ del diámetro.
2. La longitud total de la poligonal, en el caso que termine en $B$, en función de la longitud $d$ del diámetro y del ángulo $\alpha$.

Determinar los polos de las inversiones que transforman cuatro puntos $A,B,C,D$ alineados en este orden en cuatro puntos $A',B',C',D'$ que sean vértices de un rectángulo y tales que $A'$ y $C'$ sean vértices opuestos.

La longitud de la hipotenusa $BC$ de un triángulo rectángulo $ABC$ es $a$ y sobre ella se toman los puntos $M$ y $N$ tales que $BM = NC = k$, con $k\lt\frac{a}{2}$. En función de estos datos $a$ y $k$, calcular:

1. El valor de la suma de los cuadrados de las longitudes $AM$ y $AN$.
2. La razón de las áreas de los triángulos $ABC$ y $AMN$.
3. El área encerrada por la circunferencia que pasa por los puntos $A$ , $M'$ y $N'$, siendo $M'$ la proyección ortogonal de $M$ sobre $AC$ y $N'$ la de $N$ sobre $AB$.