Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución.

1. El circuncentro es el punto que equidista de los tres vértices, luego los puntos de la perpendicular a una cara en su circuncentro también equidistan de los vértices de esa cara. Por lo tanto, las cuatro perpendiculares se cortarán en el punto que equidista de los cuatro vértices, el circuncentro del tetraedro (centro de la única esfera que pasa por esos cuatro puntos).
2. En el caso de los ortocentros, podemos considerar un tetraedro de vértices $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,0,1)$ y $C=(0,1,1)$. Las caras $OAC$ y $OBC$ son triángulos rectángulos cuyos ortocentros son $O$ y $C$, respectivamente. Como estas caras están contenidas en los planos $OXZ$ y $OYZ$, se sigue que dos de las cuatro rectas perpendiculares que debemos considerar son $x=z=0$ y $z-1=y=0$. Estas dos rectas no se cortan ya que una está en el plano $z=0$ y la otra en $z=1$, Por lo tanto, la respuesta es negativa en general.
3. En el caso de los incentros, podemos tomar la misma configuración $O=(0,0,0)$, $A=(a,0,0)$, $B=(0,b,0)$ y $C=(0,0,c)$. El incentro de $OAB$ está en el plano bisector $x=y$, el de $OBC$ en $y=z$ y el de $OCA$ en $z=x$. Por lo tanto, si las rectas se cortaran tendría que ser en un punto con $x=y=z$. Esto nos dice que los triángulos $OAB,OBC,OCA$ deberían tener el mismo inradio, pero puede elegirse $a,b,c$ para que esto no ocurra. Por lo tanto, la respuesta es también negativa en general.

Solución. Sea $ABC$ el triángulo. Un rectángulo cuyos cuatro vértices están sobre los lados del triángulo debe tener un lado completamente apoyado sobre dicho lado y los otros dos vértices en los otros dos lados. Supongamos que está apoyado sobre el lado $BC$ y tiene los otros vértices uno en $AB$ y el otro en $AC$ sin perder generalidad (el mismo razonamiento se repite en los otros casos). Además, el triángulo debe tener ángulos agudos en $B$ y $C$ o en caso contrario no existirá ningún rectángulo (nos dicen que los vértices están sobre los lados, no sobre las rectas que los contienen).

Pongamos coordenadas de forma que $B=(0,0)$, $C=(c,0)$ y $A=(a,b)$. Como un lado del rectángulo está apoyado en $BC$, el lado opuesto estará en la recta paralela $y=\lambda b$ para $0\leq\lambda\leq 1$, que corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $(\lambda a,\lambda b)$ y $(\lambda a+(1-\lambda)c,\lambda c)$, respectivamente. Los otros dos vértices del rectángulo son, por lo tanto, $(\lambda a,0)$ y $(\lambda a+(1-\lambda)c,0)$. El centro del rectángulo se puede calcular como la media de los cuatro vértices, es decir, \[M=\left(\lambda a+\frac{1-\lambda}{2}c,\frac{\lambda}{2}b\right)=\lambda\left(a,\frac{b}{2}\right)+(1-\lambda)\left(\frac{c}{2},0\right).\] Al variar $\lambda\in[0,1]$ el punto $M$ describe el segmento que une $(a,\frac{b}{2})$ y $(\frac{c}{2},0)$, es decir, el segmento de extremos el punto medio de la altura desde el vértice $A$ y el punto medio del lado $BC$.

Por lo tanto, si el triángulo es acutángulo, el lugar geométrico consistirá en la unión de tres segmentos; en caso contrario, será un único segmento.