Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos circunferencias desiguales se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca las circunferencias en $P$ y $Q$. Demuestra que $ZX$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $PXQ$.

Dado un punto $X$ y $n$ vectores $x_1,x_2,\ldots,x_n$ en el plano cuya suma es cero, para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = x_1$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = x_2$, y así sucesivamente. Demuestra que existe una permutación tal que podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con $\angle YXZ = 60^\circ$, de manera que todos los puntos queden en el interior o en el perímetro del triángulo $XYZ$.

Sean \(A, B, C\) vértices consecutivos de un \(2n\)-gono regular y \(D\) el vértice opuesto a \(B\) (de modo que \(BD\) pasa por el centro del \(2n\)-gono). Sea \(X\) un punto en el lado \(AB\) y \(Y\) un punto en el lado \(BC\) tales que \(\angle XDY = \frac{\pi}{2n}\). Demostrar que \(DY\) biseca el ángulo \(\angle XYC\).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y tomemos un punto $X$ en el lado $AB$. Las rectas $AC$ y $DX$ se cortan en $Y$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABC$, $CDY$ y $BDX$ tienen un punto común.

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$. Se traza una recta por $P$ paralela a cada lado del triángulo. Estas rectas dividen $AB$ en tres partes de longitudes $c, c', c''$, a $BC$ en tres partes de longitudes $a, a', a''$, y a $CA$ en tres partes de longitudes $b, b', b''$, en ese orden (como se muestra en la figura). Probar que \[abc = a'b'c' = a''b''c''.\]