Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ dos triángulos acutángulos. Consideremos todos los triángulos $ABC$ que son semejantes a $A_1B_1C_1$ y tales que $A_0$ está en el lado $AB$, $B_0$ en $CA$ y $C_0$ en $AB$. De todos los posibles triángulos en estas condiciones, hallar el que tiene mayor área y construirlo.

Demostrar que si una y solo una de las aristas de un tetraedro es mayor que $1$, entonces su volumen es menor o igual que $1/8$.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con lados de longitudes $AB=a$ y $AD=1$ y con $\angle BAD=\alpha$. Si $ABD$ es acutángulo, demostrar que los cuatro círculos de radio $1$ con centros en $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y sólo si \[a\leq\cos\alpha+\sqrt{3}\,\mathrm{sen}\,\alpha.\]

Se eligen puntos $K,L,M$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Demostrar que el área de al menos uno de los triángulos $AML,BKM,CLK$ es menor o igual que $1/4$ del área del triángulo $ABC$.

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo y $\alpha,\beta,\gamma$, respectivamente, sus ángulos opuestos. Demostrar que si se cumple que \[a+b=(a\tan\alpha+b\tan\beta)\tan\tfrac{\gamma}{2},\] entonces el triángulo es isósceles.