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Problema 1419
Dado un pentágono regular, se dibujan sus cinco segmentos diagonales. Se pide determinar el número total de triángulos que aparecen construidos en la figura y clasificar este conjunto de triángulos en clases de triángulos congruentes entre sí.
pistasolución 1info
Pista. ¡Dibuja, calcula ángulos y cuenta triángulos!
Solución. Tenemos cinco tipos de triángulos, como puede verse en la figura.
- Hay 5 triángulos congruentes con el azul (de ángulos $36^\circ,36^\circ,108^\circ$).
- Hay 10 triángulos congruentes con el amarillo (de ángulos $36^\circ,36^\circ,108^\circ$).
- Hay 5 triángulos congruentes con el verde (de ángulos $72^\circ,72^\circ,36^\circ$).
- Hay 10 triángulos congruentes con el negro (de ángulos $72^\circ,72^\circ,36^\circ$).
- Hay 5 triángulos congruentes con el rojo (de ángulos $72^\circ,72^\circ,36^\circ$).
Estos son los $35$ triángulos que aparecen construidos en la figura.
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Problema 1413
IMO, 1967-P4
Sean $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$ dos triángulos acutángulos. Consideremos todos los triángulos $ABC$ que son semejantes a $A_1B_1C_1$ y tales que $A_0$ está en el lado $AB$, $B_0$ en $CA$ y $C_0$ en $AB$. De todos los posibles triángulos en estas condiciones, hallar el que tiene mayor área y construirlo.
Sin pistas
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Problema 1411
IMO, 1967-P2
Demostrar que si una y solo una de las aristas de un tetraedro es mayor que $1$, entonces su volumen es menor o igual que $1/8$.
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Problema 1410
IMO, 1967-P1
Sea $ABCD$ un paralelogramo con lados de longitudes $AB=a$ y $AD=1$ y con $\angle BAD=\alpha$. Si $ABD$ es acutángulo, demostrar que los cuatro círculos de radio $1$ con centros en $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y sólo si
\[a\leq\cos\alpha+\sqrt{3}\,\mathrm{sen}\,\alpha.\]
Sin pistas
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Problema 1409
IMO, 1966-P6
Se eligen puntos $K,L,M$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Demostrar que el área de al menos uno de los triángulos $AML,BKM,CLK$ es menor o igual que $1/4$ del área del triángulo $ABC$.
Sin pistas
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