Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sean $P$, $Q$, $R$ y $S$ los baricentros de los triángulos $ABE$, $BCE$, $CDE$ y $DAE$, respectivamente. Demostrar que $PQRS$ es un paralelogramo y que su área es $\frac{2}{9}$ del área de $ABCD$.

Sean $ABC$ un triángulo, $D$ el punto medio de $BC$, $E$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $BE=2AD$ y $F$ el punto de intersección de $AD$ con $BE$. Si $\angle DAC=60^\circ$, encontrar la medida de los ángulos del triángulo $FEA$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde los vértices $A$ y $B$, respectivamente. Demostrar que si \[\mathrm{Area}(BDE)\leq\mathrm{Area}(DEA)\leq\mathrm{Area}(EAB)\leq\mathrm{Area}(ABD),\] entonces el triángulo es isósceles.

En un trapecio $ABCD$, siendo $AB$ y $CD$ paralelas, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $\angle MCB=150^\circ$, hallar el área de $ABCD$ en función de $a=BC$ y $b=MC$.

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se cortan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas paralelas tales que:

• $l_1$ pasa por el punto $P$ y corta a $S_1$ en un punto $A_1$ distinto de $P$ y a $S_2$ en un punto $A_2$ distinto de $P$.
• $l_2$ pasa por el punto $Q$ y corta a $S_1$ en un punto $B_1$ distinto de $Q$ y a $S_2$ en un punto $B_2$ distinto de $Q$.

Demostrar que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen igual perımetro.