Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen cuerdas $AA',BB',CC'$ de una esfera que se cortan en un punto interior $P$ pero no están en un mismo plano. La esfera que pasa por $A,B,C,P$ es tangente a la esfera original en $A',B',C',P$. Demostrar que $AA'=BB'=CC'$.

Sea $D$ un punto arbitrario del lado $AB$ de un triángulo $ABC$ y sea $E$ el punto interior del triángulo en el que $CD$ corta a la tangente exterior común a las circunferencias inscritas de los triángulos $ACD$ y $BCD$. Demostrar que al mover $D$ en el segmento $AB$, el punto $E$ describe un arco de circunferencia.

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es el doble del ángulo $B$, el ángulo $C$ es obtuso y las tres longitudes de los lados $a,b,c$ son enteros. Determinar razonadamente el mínimo perímetro que puede tener el triángulo.

Sea $ABC$ triángulo acutángulo en el plano. La circunferencia de diámetro $AB$ corta a la altura que pasa por $C$ en los puntos $M$ y $N$ y la circunferencia de diámetro $AC$ corta a la altura que pasa por $B$ en los puntos $P$ y $Q$. Demostrar que los puntos $M,N,P,Q$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyos lados cumplen las desigualdades $AB\lt AC\lt BC$. Si el punto $I$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$ y el punto $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita, demostrar que la recta $IO$ corta a los segmentos $AB$ y $BC$.