Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
Buscar problemas
La base de datos contiene 2791 problemas y 1121 soluciones.
Problema 1378
OMCC, 2000-P5
Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $C_1$ y $C_2$ las circunferencias que tienen a los lados $AB$ y $CA$ como diámetros, respectivamente. Supongamos que $C_2$ corta al lado $AB$ en el punto $F$ (con $F\neq A$) y $C_1$
corta al lado $CA$ en el punto $E$ (con $E\neq A$). Además, pongamos que $BE$ corta a $C_2$ en $P$ y $CF$ corta a $C_1$ en $Q$. Demostrar que las longitudes de los segmentos $AP$ y $AQ$ son iguales.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1376
OMCC, 2002-P3
Sea $ABCDE$ un pentágono convexo. Sean $P$, $Q$, $R$ y $S$ los baricentros de los triángulos $ABE$, $BCE$, $CDE$ y $DAE$, respectivamente. Demostrar que $PQRS$ es un paralelogramo y que su área es $\frac{2}{9}$ del área de $ABCD$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1372
OMCC, 2002-P4
Sean $ABC$ un triángulo, $D$ el punto medio de $BC$, $E$ un punto sobre el segmento $AC$ tal que $BE=2AD$ y $F$ el punto de intersección de $AD$ con $BE$. Si $\angle DAC=60^\circ$, encontrar la medida de los ángulos del triángulo $FEA$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1370
OMCC, 2002-P2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde los vértices $A$ y $B$, respectivamente. Demostrar que si
\[\mathrm{Area}(BDE)\leq\mathrm{Area}(DEA)\leq\mathrm{Area}(EAB)\leq\mathrm{Area}(ABD),\]
entonces el triángulo es isósceles.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1367
OMCC, 1999-P4
En un trapecio $ABCD$, siendo $AB$ y $CD$ paralelas, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $\angle MCB=150^\circ$, hallar el área de $ABCD$ en función de $a=BC$ y $b=MC$.
pistasolución 1info
Pista. Prolonga el segmento $CM$ hasta cortar a la recta $AB$.
Solución. Prolongamos $CM$ hasta que corte en un punto $P$ a la recta $AB$.Los triángulos $CMD$ y $PAM$ son congruentes ya que tienen sus lados paralelos y $AM=MD$. Por lo tanto, el área de $ABCD$ es igual al área del triángulo $PCB$, que puede calcularse como el semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman, esto es,
\[\text{Area}(ABCD)=\tfrac{1}{2}\cdot CP\cdot CB\cdot\operatorname{sen}\angle PCB=\tfrac{1}{2}\cdot 2b\cdot a\cdot\operatorname{sen}150^\circ=\tfrac{1}{2}ab.\]
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2026. Esta página ha sido creada mediante software libre