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Problema 1370
OMCC, 2002-P2
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde los vértices $A$ y $B$, respectivamente. Demostrar que si
\[\mathrm{Area}(BDE)\leq\mathrm{Area}(DEA)\leq\mathrm{Area}(EAB)\leq\mathrm{Area}(ABD),\]
entonces el triángulo es isósceles.
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Problema 1367
OMCC, 1999-P4
En un trapecio $ABCD$, siendo $AB$ y $CD$ paralelas, sea $M$ el punto medio del lado $DA$. Si $\angle MCB=150^\circ$, hallar el área de $ABCD$ en función de $a=BC$ y $b=MC$.
pistasolución 1info
Pista. Prolonga el segmento $CM$ hasta cortar a la recta $AB$.
Solución. Prolongamos $CM$ hasta que corte en un punto $P$ a la recta $AB$.Los triángulos $CMD$ y $PAM$ son congruentes ya que tienen sus lados paralelos y $AM=MD$. Por lo tanto, el área de $ABCD$ es igual al área del triángulo $PCB$, que puede calcularse como el semiproducto de dos lados por el seno del ángulo que forman, esto es,
\[\text{Area}(ABCD)=\tfrac{1}{2}\cdot CP\cdot CB\cdot\operatorname{sen}\angle PCB=\tfrac{1}{2}\cdot 2b\cdot a\cdot\operatorname{sen}150^\circ=\tfrac{1}{2}ab.\]
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Problema 1361
OMCC, 2003-P4
Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se cortan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas paralelas tales que:
- $l_1$ pasa por el punto $P$ y corta a $S_1$ en un punto $A_1$ distinto de $P$ y a $S_2$ en un punto $A_2$ distinto de $P$.
- $l_2$ pasa por el punto $Q$ y corta a $S_1$ en un punto $B_1$ distinto de $Q$ y a $S_2$ en un punto $B_2$ distinto de $Q$.
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Problema 1359
OMCC, 2003-P2
Sea $S$ una circunferencia y $AB$ un diámetro de ella. Sea $t$ la recta tangente a $S$ en $B$ y sean $C$ y $D$ dos puntos en $t$ tales que $B$ está entre $C$ y $D$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$, respectivamente, y sean $G$ y $H$ las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$, respectivamente. Demostrar que $AH=AG$.
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Problema 1357
OMCC, 2007-P6
Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia $S$ se trazan tangentes que la tocan en $A$ y $B$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ corta a $S$ en el punto $C$ interior al triángulo $ABP$, la recta $AC$ corta a la recta $PM$ en $G$ y la recta $PM$ corta a $S$ en el punto $D$ exterior al triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralelo a $AC$, demostrar que $G$ es el punto donde concurren las medianas del triángulo $ABP$.
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