Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de una esfera se cortan en $X$. Los puntos $A, C$ y $X$ son equidistantes de un punto $Y$ en la esfera. Demostrar que $BD$ y $XY$ son perpendiculares.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. La circunferencia circunscrita de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABO$ y $MNC$ tienen el mismo radio.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Se eligen puntos $K, L, M, N$ en los lados $AB, BC, CD, DA$, respectivamente, de manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demostrar que la intersección de $KM$ y $LN$ está sobre $BD$.

Dos circunferencias desiguales se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca las circunferencias en $P$ y $Q$. Demuestra que $ZX$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $PXQ$.