Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen dos cuadrados $ABCD$ y $A'B'C'D'$ que representan mapas de la misma región dibujados a distintas escalas y colocados uno encima del otro como se ve en la figura. Demostrar que existe un único punto $O$ del mapa pequeño que coincide con el punto $O'$ del mapa grande que representa el mismo punto de la región que $O$. Además, dar una construcción con regla y compás para obtener geométricamente el punto $O$.

Consideremos un cuadrilátero en el espacio que no está contenido en ningún plano. Demostrar que sus lados opuestos son congruentes si, y solo si, la recta que une los puntos medios de las dos diagonales es perpendicular a las diagonales.

Sean $ABC$ y $A'B'C'$ dos triángulos en el plano tales que las rectas $AA',BB',CC'$ son paralelas. Demostrar que \[3[ABC]+3[A'B'C']=[AB'C']+[BC'A']+[CA'B']+[A'BC]+[B'CA]+[C'AB],\] siendo $[XYZ]$ el área del triángulo $XYZ$ salvo el signo, es decir, en cada una de las áreas de la fórmula anterior hay que hacer una cierta elección de signo $\pm$.

Sean $A$ y $B$ puntos fijos en una circunferencia de forma que $AB$ no es un diámetro y sea $XY$ un diámetro variable de la misma circunferencia. Hallar el lugar geométrico de la intersección de las rectas $AX$ y $BY$.

Dados dos círculos que se cortan en los puntos $P$ y $Q$, construir un segmento $AB$ que pase por $P$ y tenga sus extremos en los círculos de forma que el producto $AP\cdot PB$ sea máximo.