Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideramos los triángulos $\Delta ABC$ y $\Delta PQR$ que se muestran en la figura. Sabiendo que $\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=120^\circ$, demostrar que $x=u+v+w$.

Tenemos dos puntos sobre una esfera de radio $1$ unidos por una curva interior a la esfera de longitud menor que $2$. Probar que la curva está contenida completamente en cierto hemisferio de la bola.

Dos puntos $P$ y $Q$ están en el interior de un tetraedro regular $ABCD$. Demostrar que $\angle PAQ\lt 60^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC\lt BC$. Sean $I$ y $\omega$ el incentro y el incírculo del triángulo $ABC$, respectivamente. Sea $X$ el punto de la recta $BC$, diferente de $C$, tal que la recta paralela a $AC$ que pasa por $X$ es tangente a $\omega$. Análogamente, sea $Y$ el punto de la recta $BC$, diferente de $B$, tal que la recta paralela a $AB$ que pasa por $Y$ es tangente a $\omega$. La recta $AI$ corta de nuevo al circuncírculo del triángulo $ABC$ en $P\neq A$. Sean $K$ y $L$ los puntos medios de $AC$ y $AB$, respectivamente. Demostrar que $\angle KIL + \angle YPX = 180^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de ABC tales que $BA_1 = A_1C$, $CB_1 =B_1A$, $AC_1 =C_1B$ y \[\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ.\] Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$ y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.

Demostrar que, si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.