Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AIC$. La prolongación de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$ y la prolongación de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan an $\Omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Probar que \[AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.\]

Sea $D$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB\gt AC$, de forma que $\angle DAB = \angle CAD$. Un punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE = \angle BCD$, un punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA = \angle DBC$, y un punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX=BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$ respectivamente. Probar que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Consideremos el cuadrilátero convexo $ABCD$. Supongamos que un punto $P$ en el interior de $ABCD$ cumple las siguientes razones: \[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BPA:\angle BPC.\] Demostrar que las siguientes tres rectas concurren en un punto: la bisectriz interior del ángulo $\angle ADP$, la bisectriz interior del ángulo $\angle PCB$ y la mediatriz del segmento $AB$.

Se tienen dos círculos tangentes y un punto $P$ en su tangente común perpendicular a la recta que une sus centros. Construir con regla y compás todos los círculos que son tangentes a estos dos círculos y que pasan por el punto $P$.

Sea $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ un punto de $AB$ e $Y$ un punto de $AC$ tales que $X,Y,G$ están alineados y las rectas $XY$ y $BC$ sn paralelas. Supongamos que $XC$ y $GB$ se cortan en $Q$ y que $YB$ y $GC$ se cortan en $P$. Demostrar que los triángulos $MPQ$ y $ABC$ son semejantes.