Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\Delta ABC$ un triángulo y $D$, $E$ y $F$ tres puntos cualesquiera sobre los lados $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. Llamemos $P$ al punto medio de $AE$, $Q$ al punto medio de $BF$ y $R$ al punto medio de $CD$. Probar que el área del triángulo $\Delta PQR$ es la cuarta parte del área del triángulo $\Delta DEF$.

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que \[AB+CD=\sqrt{2}\,AC\qquad\text{y}\qquad BC+DA=\sqrt{2}\,BD.\] ¿Qué forma tiene dicho cuadrilátero?

Sean $A$, $B$ y $C$ los vertices de un triángulo y $P$, $Q$ y $R$ los respectivos pies de las bisectrices trazadas desde esos mismos vértices. Sabiendo que $PQR$ es un triángulo rectángulo en $P$, demostrar las siguientes afirmaciones:

1. $ABC$ es obtusángulo.
2. En el cuadrilátero $ARPQ$, pese a no ser cíclico, la suma de sus ángulos opuestos es constante.