Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$. Se traza una recta por $P$ paralela a cada lado del triángulo. Estas rectas dividen $AB$ en tres partes de longitudes $c, c', c''$, a $BC$ en tres partes de longitudes $a, a', a''$, y a $CA$ en tres partes de longitudes $b, b', b''$, en ese orden (como se muestra en la figura). Probar que \[abc = a'b'c' = a''b''c''.\]

La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demostrar que ambas diagonales tienen necesariamente la misma longitud.

Sea un polígono convexo tal que cualquier segmento que lo divida en dos partes de igual área y que tenga al menos un extremo en un vértice tiene longitud menor que $1$. Probar que el área del polígono es menor que $\tfrac{\pi}{4}$.

Sean $S$ y $S'$ dos esferas secantes. La recta $BXB'$ es paralela a la línea de centros, donde $B$ es un punto de $S$, $B'$ es un punto de $S'$ y $X$ pertenece a ambas esferas. Sea $A$ otro punto de $S$ y $A'$ otro punto de $S'$ tales que la recta $AA'$ tenga un punto común a ambas esferas. Demostrar que los segmentos $AB$ y $A'B'$ tienen proyecciones iguales sobre la recta $AA'$.