Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Por los puntos medios de dos lados de un triángulo $ABC$ trazamos las medianas y unimos los puntos que trisecan el tercer lado con el vértice opuesto. Así, en el interior del triángulo se obtiene una pajarita (dos triángulos unidos por un vértice). Se pide calcular la fracción del área total del triangulo que representa la pajarita.

Deslizamos un cuadrado de $10\text{cm}$ de lado por el plano $OXY$ de forma que los vértices de uno de sus lados estén siempre en contacto con los ejes de coordenadas, uno con el eje $OX$ y otro con el eje $OY$. Determina los lugares geométricos que en ese movimiento describen:

1. El punto medio del lado de contacto con los ejes.
2. El centro del cuadrado.
3. Los vértices del lado de contacto y del opuesto en el primer cuadrante.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$ por $P$ y la perpendicular a $CQ$ por $Q$ se intersecan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, mostrar que $AI=AR$.

Sobre un rectángulo $ABCD$ se dibujan triángulos equiláteros $BCX$ y $DCY$ de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta $AX$ corta a la recta $CD$ en $P$. La recta $AY$ corta a la recta $BC$ en $Q$. Demostrar que el triángulo $APQ$ es equilátero.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\omega$ su circunferencia inscrita de centro $I$, $\Omega$ su circunferencia circunscrita de centro $O$, y $M$ el punto medio de la altura $AH$, donde $H$ pertenece al lado $BC$. La circunferencia $\omega$ es tangente a este lado $BC$ en el punto $D$. La recta $MD$ corta a $\omega$ en un segundo punto $P$ y la perpendicular desde $I$ a $MD$ corta a $BC$ en $N$. Las rectas $NR$ y $NS$ son tangentes a $\Omega$ en $R$ y $S$, respectivamente. Probar que los puntos $R,P,D,S$ están en una misma circunferencia.