Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $BC$ y $CD$, respectivamente. Probar que \[\mathrm{Área}(ABCD)\lt\frac{(AM+AN)^2}{2}.\]

Un cuadrilátero convexo queda dividido por sus diagonales en cuatro triángulos cuyas circunferencias inscritas tienen todas el mismo radio. Demostrar que el cuadrilátero es un rombo.

Dado un punto $O$ en el espacio, consideremos $1979$ rectas $L_1,L_2,\ldots,L_{1979}$ que pasan por $O$ y no hay dos que sean perpendiculares entre sí. Dado un punto $A_1$ en $L_1$ distinto de $O$, demostrar que podemos encontrar puntos $A_n$ en $L_n$ para $2\leq n\leq 1979$ tales que $L_n$ es perpendicular a la recta $A_{n-1}A_{n+1}$ para $1\leq n\leq 1979$, donde extendemos cíclicamente $A_0=A_{1979}$ y $A_{1980}=A_1$

Sea $T$ un triángulo isósceles. Otro triángulo isósceles $T'$ tiene un vértice en cada lado de $T$. Determinar el menor valor posible de la razón $\mathrm{Área}(T')/\mathrm{Área}(T)$.

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.