Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tiene un segmento $BC$ y un punto $A$ en el espacio. Hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio que son vértices de ángulos rectos con uno de sus lados pasando por $A$ y el otro lado cortando al segmento $BC$.

Una pirámide $SABC$ de base triangular tiene la siguiente propiedad: existen cinco esferas, cada una de ellas tangente a las rectas que contienen a las seis aristas $SA, SB, SC, BC, CA, AB$.

1. Demostrar que la pirámide es un tetraedro regular.
2. Recíprocamente, demostrar que cualquier tetraedro regular tiene dicha propiedad.

En un triángulo isósceles, sea $r$ el radio de la circunferencia circunscrita y $\rho$ el radio de la circunferencia insrita. Demostrar que la distancia $d$ entre los centros de estas dos circunferencias viene dada por \[d=\sqrt{r(r-2\rho)}.\]

Sobre un círculo $K$ se colocan tres puntos $A$, $B$ y $C$. Construir usando regla y compás un cuarto punto $D$ sobre $K$ tal que el cuadrilátero $ABCD$ admita una circunferencia inscrita.

Consideremos un cubo $ABCDA'B'C'D'$ de forma que $ABCD$ y $A'B'C'D'$ son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas $AA',BB',CC',DD'$ son paralelas. Un punto $X$ se mueve a velocidad constante a lo largo del perímetro del cuadrado $ABCD$ siguiendo el sentido $A\to B\to C\to D\to A$ y un punto $Y$ se mueve con la misma velocidad a lo largo del perímetro del cuadrado $ B'C'CB$ siguiendo el sentido $B'\to C'\to C\to B\to B'$. Los puntos $X$ e $Y$ inician su movimiento en el mismo instante desde las posiciones iniciales $A$ y $B'$, respectivamente. Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento $XY$ a lo largo del movimiento.