Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 1203
IMO, 1959-P5
Se elige un punto arbitrario $M$ en el interior de un segmento $AB$. Se toman cuadrados $AMCD$ y $MBEF$ al mismo lado de $AB$, siendo los segmentos $AM$ y $MB$ sus bases. Las circunferencias circunscritas a estos cuadrados, con centros en $P$ y $Q$, se cortan en $M$ y también en otro punto $N$. Sea $N'$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$.
- Demostrar que los puntos $N$ y $N'$ coinciden.
- Demostrar que la recta $MN$ pasa por un punto $S$ al variar $M$.
- Encontrar el lugar geométrico del punto medio del segmento $PQ$ al variar $M$.
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Problema 1202
IMO, 1959-P4
Construir con regla y compás un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa $c$ y que la mediana que une el vértice del ángulo recto con el punto medio de la hipotenusa es la media geométrica de los dos catetos del triángulo.
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Problema 1191
ASU, 1965-P7
En un triángulo se traza una recta tangente a la circunferencia inscrita que es paralela a uno de los lados y corta a los otros dos en los puntos $X$ e $Y$. ¿Cuál es la mayor distancia posible $XY$ en términos del perímetro del triángulo?
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Problema 1187
ASU, 1965-P3
Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos medios de los arcos $BC$, $AC$ y $AB$ de $\Gamma$ que no contienen a $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Supongamos que $YZ$ corta a $AB$ en $D$ y que $XY$ corta a $BC$ en $E$. Demostrar que $DE$ es paralela a $AC$ y que pasa por el incentro de $ABC$.
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Problema 1181
ASU, 1964-P10
Un círculo de centro $O$ está inscrito en un cuadrilátero $ABCD$. Demostrar que
\[\angle AOB+\angle COD=180^\circ.\]
pistasolución 1info
Pista. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$, entonces fíjate en que $BOM$ y $NOB$ son congruentes.
Solución. Sean $M,N,P,Q$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, tal y como se indica en la figura. Los triángulos $AMO$ y $BNO$ son congruentes ya que $MB=BN$ y $\angle MBO=\angle NBO$ por la tangencia y también $BO$ es común a ambos triángulos. Por esto, se tiene que $\angle MOB=\angle NOB$. De la misma manera, se prueba que $\angle NOC=\angle POC$, que $\angle POD=\angle DOQ$ y que $\angle QOA=\angle AOM$. En la figura, se indican con el mismo color ángulos iguales, luego está claro que $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$ ya que esta suma tiene un ángulo de cada color y el doble sería el ángulo completo de $360^\circ$.
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