Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2764 problemas y 1057 soluciones.
Problema 1187
ASU, 1965-P3
Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$. Sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos medios de los arcos $BC$, $AC$ y $AB$ de $\Gamma$ que no contienen a $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Supongamos que $YZ$ corta a $AB$ en $D$ y que $XY$ corta a $BC$ en $E$. Demostrar que $DE$ es paralela a $AC$ y que pasa por el incentro de $ABC$.
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Problema 1181
ASU, 1964-P10
Un círculo de centro $O$ está inscrito en un cuadrilátero $ABCD$. Demostrar que
\[\angle AOB+\angle COD=180^\circ.\]
pistasolución 1info
Pista. Si $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$, entonces fíjate en que $BOM$ y $NOB$ son congruentes.
Solución. Sean $M,N,P,Q$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, tal y como se indica en la figura. Los triángulos $AMO$ y $BNO$ son congruentes ya que $MB=BN$ y $\angle MBO=\angle NBO$ por la tangencia y también $BO$ es común a ambos triángulos. Por esto, se tiene que $\angle MOB=\angle NOB$. De la misma manera, se prueba que $\angle NOC=\angle POC$, que $\angle POD=\angle DOQ$ y que $\angle QOA=\angle AOM$. En la figura, se indican con el mismo color ángulos iguales, luego está claro que $\angle AOB+\angle COD=180^\circ$ ya que esta suma tiene un ángulo de cada color y el doble sería el ángulo completo de $360^\circ$.
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Problema 1179
ASU, 1964-P7
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $A'$ y $C'$, respectivamente, los pies de las perpendiculares por $A$ y $C$ a la diagonal $BD$ y sean $B'$ y $D'$, respectivamente, los pies de las perpendiculares por $B$ y $D$ a la diagonal $AC$. Demostrar que el cuadrilátero $A'B'C'D'$ es semejante a $ABCD$.
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Problema 1177
ASU, 1964-P5
- Un hexágono $ABCDEF$ tiene todos sus ángulos iguales. Demostrar que \[AB-DE=EF-BC=CD-FA.\]
- Dados seis números reales positivos $a_1,\ldots, a_6$ tales que $a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$, demostrar que se puede construir un hexágono con lados de longitudes $a_1,\ldots,a_6$ y ángulos iguales.
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Problema 1175
ASU, 1963-P14
Dado un triángulo isósceles, encontrar el lugar geométrico de los puntos $P$ interiores al triángulo tales que la distancia de $P$ al lado desigual coincide con la media geométrica de las distancias a los dos lados iguales.
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