Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un punto $O$ en el espacio, consideremos $1979$ rectas $L_1,L_2,\ldots,L_{1979}$ que pasan por $O$ y no hay dos que sean perpendiculares entre sí. Dado un punto $A_1$ en $L_1$ distinto de $O$, demostrar que podemos encontrar puntos $A_n$ en $L_n$ para $2\leq n\leq 1979$ tales que $L_n$ es perpendicular a la recta $A_{n-1}A_{n+1}$ para $1\leq n\leq 1979$, donde extendemos cíclicamente $A_0=A_{1979}$ y $A_{1980}=A_1$

Sea $T$ un triángulo isósceles. Otro triángulo isósceles $T'$ tiene un vértice en cada lado de $T$. Determinar el menor valor posible de la razón $\mathrm{Área}(T')/\mathrm{Área}(T)$.

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.

Un polígono de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Tomamos un punto en cada lo del polígono para formar otro polígono de $n$ lados. Demostrar que el nuevo polígono tiene perímetro mayor o igual que $\frac{2A}{R}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ un punto en su interior de forma que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM=\angle CDM$, demostrar que $\angle ACD=\angle BCM$.