Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea un polígono convexo tal que cualquier segmento que lo divida en dos partes de igual área y que tenga al menos un extremo en un vértice tiene longitud menor que $1$. Probar que el área del polígono es menor que $\tfrac{\pi}{4}$.

Sean $S$ y $S'$ dos esferas secantes. La recta $BXB'$ es paralela a la línea de centros, donde $B$ es un punto de $S$, $B'$ es un punto de $S'$ y $X$ pertenece a ambas esferas. Sea $A$ otro punto de $S$ y $A'$ otro punto de $S'$ tales que la recta $AA'$ tenga un punto común a ambas esferas. Demostrar que los segmentos $AB$ y $A'B'$ tienen proyecciones iguales sobre la recta $AA'$.

Sea $ABC$ un triángulo. Se eligen puntos $D, E, F$ sobre $BC, CA, AB$, respectivamente, tales que $B$ equidista de $D$ y $F$, mientras que $C$ equidista de $D$ y $E$. Demostrar que el circuncentro de $AEF$ está sobre la bisectriz del ángulo $\angle EDF$.

Un cuadrilátero $ABCD$ verifica $AB = CD$, siendo $AD$ paralelo a $BC$ pero $AB$ no es paralelo a $CD$. El triángulo $ABC$ se rota un cierto ángulo alrededor de $C$ obteniéndose el triángulo $A'B'C$. Demostrar que los puntos medios de $BC$, $B'C$ y $A'D$ están alineados.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Se tienen puntos $X$ e $Y$ en los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\tfrac{AX}{XB} = \tfrac{CY}{YD} = \tfrac{m}{n}$. Las rectas $AY$ y $DX$ se cortan en $P$, y las rectas $BY$ y $CX$ se cortan en $Q$. Demostrar que $$\frac{\text{área}(XQYP)}{\text{área}(ABCD)} < \frac{mn}{m^2 + mn + n^2}.$$