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Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1166
ASU, 1962-P10
En un triángulo $ABC$ con $AB=BC$, sea $M$ el punto medio de $AC$. Sea $H$ el pie de la perpendicular a $AC$ que pasa por $M$ y sea $P$ el punto medio de $MH$. Demostrar que $AH$ es perpendicular a $BP$.
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Problema 1165
ASU, 1962-P8
Sea $M$ un punto arbitrario en un pentágono regular $ABCDE$ de lado $1$ o en su interior. Denotamos por $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$ a las distancias de $M$ a los vértices del pentágono, ordenadas de forma que $r_1\leq r_2\leq r_3\leq r_4\leq r_5$.
  1. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $M$ que dan el menor valor posible a $r_3$.
  2. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $M$ que dan el mayor valor posible a $r_3$.
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Problema 1164
ASU, 1962-P6
Construir un triángulo $ABC$ conociendo las longitudes de los lados $AB$ y $BC$ y el hecho de que las medianas a estos dos lados son perpendiculares.
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Problema 1162
ASU, 1962-P2
Dado un círculo $C$ y una recta $r$ que pasa por su centro $O$, consideremos un punto variable $P$ en $r$. Sea $K$ el círculo centrado en $P$ que pasa por $O$ y sea $T$ el punto donde una recta tangente común a $C$ y $K$ toca a $K$. Hallar el lugar geométrico de $T$ al variar $P$.
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Problema 1161
ASU, 1962-P1
Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$, se consideran el cuadrilátero $A'B'C'D'$ tal que $A$ es el punto medio de $DA'$, $B$ es el punto medio de $AB'$, $C$ es el punto medio de $BC'$ y $D$ es el punto medio de $CD'$. Demostrar que el área de $A'B'C'D'$ es cinco veces el área de $ABCD$.
pistasolución 1info
Pista. ¿Cuál es la razón entre las áreas de $BB'C'$ y $ABC$?
Solución. El triángulo $BB'C'$ (azul) tiene doble área que el $ABC$ (naranja) ya que tiene base doble $BC'=2BC$ y las mismas alturas respecto de estas bases (las distancias de $A$ y $B'$ a la recta $BC$ coinciden pues el punto medio de $AB'$ pertenece a la recta. De la misma manera, los triángulos $AA'B'$, $CC'D'$ y $DD'A'$ tiene área el doble que las de $ABD$, $BCD$ y $CDA$, respectivamente. Por lo tanto, la suma de las áreas de $AA'B'$, $BB'C'$, $CC'D'$ y $DD'A'$ es cuatro veces la del cuadrilátero $ABCD$. Si le sumamos una vez más el área de $ABCD$, tenemos el área de $A'B'C'D'$ es cinco veces el área de $ABCD$.imagen
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