Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 2246
ASU, 1978-P15
Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.
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Problema 2241
ASU, 1978-P10
Un polígono de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Tomamos un punto en cada lo del polígono para formar otro polígono de $n$ lados. Demostrar que el nuevo polígono tiene perímetro mayor o igual que $\frac{2A}{R}$.
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Problema 2233
ASU, 1978-P2
Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ un punto en su interior de forma que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM=\angle CDM$, demostrar que $\angle ACD=\angle BCM$.
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Problema 2221
ASU, 1977-P7
A cada vértice de un polígono llegan exactamente tres aristas y cada una de sus caras es un polígono cíclico (hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices). Demostrar que todos los vértices del polígono están sobre una esfera.
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Problema 2217
ASU, 1977-P3
- Se tiene una circunferencia con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos con extremos en los vértices de $T_2$. Consideremos el hexágono intersección de $T_1$ y $T_2$. Demostrar que las diagonales principales de dicho hexágono son paralelas a los lados de $T_1$ y se cortan en un único punto.
- El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $D$ y $K$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que los puntos $A,D,I,K$ son los vértices de un rombo.
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