Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean \(A, B, C\) vértices consecutivos de un \(2n\)-gono regular y \(D\) el vértice opuesto a \(B\) (de modo que \(BD\) pasa por el centro del \(2n\)-gono). Sea \(X\) un punto en el lado \(AB\) y \(Y\) un punto en el lado \(BC\) tales que \(\angle XDY = \frac{\pi}{2n}\). Demostrar que \(DY\) biseca el ángulo \(\angle XYC\).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y tomemos un punto $X$ en el lado $AB$. Las rectas $AC$ y $DX$ se cortan en $Y$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABC$, $CDY$ y $BDX$ tienen un punto común.

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$. Se traza una recta por $P$ paralela a cada lado del triángulo. Estas rectas dividen $AB$ en tres partes de longitudes $c, c', c''$, a $BC$ en tres partes de longitudes $a, a', a''$, y a $CA$ en tres partes de longitudes $b, b', b''$, en ese orden (como se muestra en la figura). Probar que \[abc = a'b'c' = a''b''c''.\]

La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demostrar que ambas diagonales tienen necesariamente la misma longitud.