Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un polígono de $n$ lados está inscrito en una circunferencia de radio $R$. Tomamos un punto en cada lo del polígono para formar otro polígono de $n$ lados. Demostrar que el nuevo polígono tiene perímetro mayor o igual que $\frac{2A}{R}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y $M$ un punto en su interior de forma que $ABMD$ es un paralelogramo. Si $\angle CBM=\angle CDM$, demostrar que $\angle ACD=\angle BCM$.

A cada vértice de un polígono llegan exactamente tres aristas y cada una de sus caras es un polígono cíclico (hay una circunferencia que pasa por todos sus vértices). Demostrar que todos los vértices del polígono están sobre una esfera.

Sean $S$ una esfera de radio $1$ y $P$ un plano que pasa por su centro. Para cualquier punto $x$ de la esfera, denotamos por $f(x)$ a la distancia desde $x$ a $P$.

1. Demostrar que si $x,y,z$ son los extremos de tres radios de $S$ mutuamente perpendiculares, entonces $f(x)^2+f(y)^2+f(z)^2=1$.
2. Sea $g:S\to\mathbb{R}$ una función que toma valores mayores o iguales que $0$ y cumple que $g(x)^2+g(y)^2+g(z)^2=1$ para cualesquiera extremos de radios de $S$ mutuamente perpendiculares. Si $g(x)=1$ siempre que $f(x)=1$, demostrar que $g(x)=f(x)$ para todo $x\in S$.