Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un cuadrilátero $ABCD$ verifica $AB = CD$, siendo $AD$ paralelo a $BC$ pero $AB$ no es paralelo a $CD$. El triángulo $ABC$ se rota un cierto ángulo alrededor de $C$ obteniéndose el triángulo $A'B'C$. Demostrar que los puntos medios de $BC$, $B'C$ y $A'D$ están alineados.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Se tienen puntos $X$ e $Y$ en los segmentos $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\tfrac{AX}{XB} = \tfrac{CY}{YD} = \tfrac{m}{n}$. Las rectas $AY$ y $DX$ se cortan en $P$, y las rectas $BY$ y $CX$ se cortan en $Q$. Demostrar que $$\frac{\text{área}(XQYP)}{\text{área}(ABCD)} < \frac{mn}{m^2 + mn + n^2}.$$

Sea $ABC$ un triángulo y sean $A'$, $B'$, $C'$ puntos en los segmentos $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente, tales que \[\angle B'A'C' = \angle BAC \quad \text{y} \quad \frac{AC'}{C'B} = \frac{BA'}{A'C} = \frac{CB'}{B'A}.\] Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son semejantes.

La circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ toca a $AB$ en $M$. Sea $N$ un punto cualquiera en el segmento $BC$. Demostrar que existe una recta tangente común a las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMN$, $BMN$ y $ACN$.

Probar que, en cualquier tetraedro, el radio $r$ de la esfera inscrita satisface \[ r < \frac{ab}{2(a+b)}, \] donde $a$ y $b$ son las longitudes de un par cualquiera de aristas opuestas.