Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1081
OME Local, 2019-P9
Consideramos un triángulo $ABC$ y un punto $D$ en el lado $AC$. Si $AB=DC=1$, $\angle DBC=30^\circ$ y $\angle ABD=90^\circ$, calcular el valor de $AD$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza el teorema del seno.
Solución. El teorema del seno en el triángulo $BCD$ nos dice que el ángulo $\gamma=\angle ACB$ cumple que $\operatorname{sen}\gamma=BD\operatorname{sen}30$. También por el teorema del seno, pero ahora en el triángulo $ABC$, tenemos que \[\frac{AD+1}{\operatorname{sen}120}=\frac{1}{\operatorname{sen}\gamma}=\frac{1}{BD\operatorname{sen}30}\ \Longleftrightarrow\ BD(AD+1)=\frac{\operatorname{sen}120}{\operatorname{sen}30}=\sqrt{3}.\] Elevando al cuadrado y teniendo en cuenta que $BD^2=AD^2-1$ (por el teorema de Pitágoras en el triángulo $ABD$), obtenemos la ecuación \[(AD^2-1)(AD+1)^2=3\ \Longleftrightarrow\ AD^4+2AD^3-2AD-4=0.\] Probando raíces enteras que son divisores del término independiente (por ejemplo, por el método de Ruffini), obtenemos la factorización $(AD+2)(AD^3-2)=0$, que nos lleva a que $AD=\sqrt[3]{2}$ como única solución positiva.

Nota. Es un resultado algo sorprendente que sea $\sqrt[3]{2}$, porque esto nos dice que esa figura no se puede construir con regla y compás. Construir un segmento de longitud $\sqrt[3]{2}$ equivale a resolver el problema clásico de la duplicación del cubo y este es imposible. Deberías investigarlo si no lo conoces aún.

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Problema 1075
OME Local, 2019-P3
El trapecio isósceles $ABCD$ tiene lados paralelos $AB$ y $CD$. Sabemos que $AB=6$, $AD=5$ y $\angle DAB = 60^\circ$. Se lanza un rayo de luz desde $A$ que rebota en $CB$ en el punto $E$ e interseca en $AD$ en el punto $F$. Si $AF=3$, calcula el área del triángulo $AFE$.

Nota. Cuando el rayo rebota en $BC$, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

pistasolución 1info
Pista. Refleja respecto del lado $BD$ para que la trayectoria sea rectilínea (el truco usual cuando hay rebotes o espejos).
Solución. Nos olvidamos del lado $CD$ puesto que aquí no hay rebotes y consideramos un triángulo equilátero $ABC'$ de lado $6$ con $C$ en $BC'$ y $D$ en $AC'$. Ahora consideramos el triángulo equilátero $A'BC'$ simétrico de $ABC'$ respecto de la recta $BC'$, de forma que ahora el rayo se puede considerar como un segmento rectilíneo $AF'$ con $F'$ en $A'C'$ (simétrico de $F$) tal y como se muestra en la figura (este es el truco usual para tratar con espejos y rebotes).

Sea $S=9\sqrt 3$ el área de $ABC$ (triángulo equilátero de lado $6$). Como $F$ es el punto medio de $AC'$, $F'$ será el punto medio de $A'C'$ y el triángulo $AC'F'$ tiene un cuarto del área del paralelogramo $ABA'C'$, es decir, $\frac{1}{2}S$. Los triángulos $C'EF$ y $C'EF'$ tienen la misma área por ser simétricos y $C'EF$ tiene el mismo área que $AFE$ por tener la misma base y altura. Por lo tanto, el área de $AFE$ es $\frac{1}{3}$ del área de $AC'F'$, es decir, $\frac{1}{6}S=\frac{3}{2}\sqrt 3$.

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Problema 1070
OIM, 2019-P4
Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralela a $CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 1069
OIM, 2019-P3
Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La recta paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D\neq B$ y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E\neq C$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y\neq A$ y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z\neq J$. Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.
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Problema 1066
OIM, 2018-P6
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB\gt BC$. Las mediatrices de $AC$ y $AB$ cortan a la recta $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos distintos de $A$ sobre las rectas $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AB=BP$ y $AC=CQ$, y sea $K$ la intersección de las rectas $EP$ y $DQ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle DKA = \angle EKM$.
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