Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Trabajando en coordenadas podemos suponer que el centro de $E$ es el origen de coordenadas y que sus semiejes están contenidos en los ejes de coordenadas, luego la elipse tiene ecuación \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\] donde $a,b\gt 0$ son las longitudes de los semiejes. Si cortamos esta elipse por un haz de rectas paralelas al eje $OY$, por simetría los puntos medios de los segmentos que se determinan están contenidos en el eje $OX$, luego están alineados. Vamos a ver que esto también es cierto para cualquier haz de rectas paralelas no verticales, es decir, veremos que los puntos medios de los segmentos determinado por la intersección de $E$ con las rectas forman una recta al dejar fija la pendiente $m\in\mathbb{R}$ y variar la ordenada en el origen $n\in\mathbb{R}$. Para hallar los puntos de intersección, sustituimos $y=mx+n$ en la ecuación de $E$, lo que nos da \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+n)^2}{b^2}=1\ \Leftrightarrow\ \left(\frac{1}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}\right)x^2+\frac{2mn}{b^2}x+\left(\frac{n^2}{b^2}-1\right)=0.\] Si la recta corta a $E$ en dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$, entonces $x_1$ y $x_2$ son las soluciones de la ecuación cuadrática anterior, luego la primera coordenada del punto medio que estamos buscando puede calcularse a partir de las relaciones de Cardano-Vieta para este polinomio (ver la nota): \[\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{-\frac{2mn}{b^2}}{\frac{1}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}}=\frac{-m}{b^2+a^2m^2}n,\] y la segunda coordenada del punto medio será \[\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{m(x_1+x_2)}{2}+n=\frac{-m^2n}{2(b^2+a^2m^2)}+n=\left(\frac{-m^2}{2(b^2+a^2m^2)}+1\right)n.\] Cuando $m$ está fijo, ambas coordenadas son de la forma constante por $n$, luego forman una recta (que pasa por el origen) al variar $n$ y hemos terminado.

Nota. Hemos usado concretamente que en una ecuación $ax^2+bx+c=0$, la suma de las soluciones es $\frac{-b}{a}$.