Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

1. Se tiene una circunferencia con dos triángulos inscritos $T_1$ y $T_2$. Los vértices de $T_1$ son los puntos medios de los arcos con extremos en los vértices de $T_2$. Consideremos el hexágono intersección de $T_1$ y $T_2$. Demostrar que las diagonales principales de dicho hexágono son paralelas a los lados de $T_1$ y se cortan en un único punto.
2. El segmento que conecta los puntos medios de los arcos $AB$ y $AC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en los puntos $D$ y $K$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que los puntos $A,D,I,K$ son los vértices de un rombo.

1. Demostrar que si $x,y,z$ son los extremos de tres radios de $S$ mutuamente perpendiculares, entonces $f(x)^2+f(y)^2+f(z)^2=1$.
2. Sea $g:S\to\mathbb{R}$ una función que toma valores mayores o iguales que $0$ y cumple que $g(x)^2+g(y)^2+g(z)^2=1$ para cualesquiera extremos de radios de $S$ mutuamente perpendiculares. Si $g(x)=1$ siempre que $f(x)=1$, demostrar que $g(x)=f(x)$ para todo $x\in S$.

Nota. No se asume que las moscas tengan la misma masa ni que se desplacen a la misma velocidad ni que sus velocidades sean constantes.