Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Por la simetría del problema, podemos pensar en que los puntos de contacto con los ejes están en el semiplano superior y luego añadir la configuración simétrica respecto del origen para completar los lugares geométricos que nos piden. Supondremos entonces que los vértices de contacto tienen coordenadas $A=(a,0)$ y $B=(0,\sqrt{100-a^2})$ y que, por tanto, $a$ se mueve en el intervalo $(-10,10)$. Observemos que $a=-10$ se corresponde con el cuadrado apoyado en el semieje negativo $OX$ y que el cuadrado está contenido en el tercer cuadrante, mientras que si $a=10$ entonces el cuadrado estará contenido completamente en el primer cuadrante.

1. El punto medio $M$ del lado $AB$ tiene coordenadas $x_M=\tfrac{a}{2}$ e $y_M=\tfrac{1}{2}\sqrt{100-a^2})$, luego se cumple que $x_M^2+y_M^2=25$. Esto nos dice que $M$ describe la mitad superior de la circunferencia de radio $5$ y centro $(0,0)$. Por simetría, $M$ describe la circunferencia entera cuando dejamos que $B$ también se mueva por el semiplano inferior.
2. Un vector normal al lado de contacto es $\vec{n}=(\sqrt{100-a^2},a)$ y tiene módulo $10$ igual a la longitud del lado. El centro del cuadrado puede calcularse como $C=M+\frac{1}{2}\vec{n}$, que tiene coordenadas $x_C=\tfrac{a}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{100-a^2}$ e $y_C=\tfrac{1}{2}\sqrt{100-a^2})+\frac{a}{2}$, por lo que se cumple que $x_C=y_C$. Queda por ver qué puntos exactamente de la recta $x=y$ (bisectriz del primer cuadrante) toma el punto $C$, para lo que consideramos la función $f(a)=\tfrac{a}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{100-a^2}$, que es continua en $[-10,10]$ y derivable en $(-10,10)$. Se verifica que $f'(a)=\frac{1}{2}-\frac{x}{2\sqrt{100-x^2}}$, de donde es fácil ver que $f'(a)=0$ tiene por única solución $a=5\sqrt{2}$, donde la función alcanza su máximo absoluto en el intervalo $[-10,10]$ y el valor máximo correspondiente es $f(5\sqrt{2})=5\sqrt{2}$. El mínimo absoluto se alcanza en el extremo $a=-10$, donde no es derivable, pero se cumple que $f(-10)=-5$. De esta forma, $C$ toma todos los valores en el segmento que une $(-5,-5)$ y $(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$. Al considerar también el caso simétrico en que $B$ recorre el semiplano inferior, concluimos que el lugar geométrico de $C$ es el segmento rectilíneo que une $(-5\sqrt{2},-5\sqrt{2})$ y $(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$ contenido en la bisectriz del primer cuadrante, incluyendo los extremos de dicho segmento.
3. Un vértice $V$ opuesto al lado $AB$ viene dado por $V=A+\vec{n}$, luego tiene coordenadas $x_V=a+\sqrt{100-a^2}$ e $y_V=a$. Tenemos así que $(x_V-y_V)^2=100-y_V^2$ o equivalentemente $x_V^2-2x_Vy_V+2y_V^2=100$. Se trata, por tanto, de saber qué conjunto representa la ecuación $x^2-2xy+2y^2=100$. Como es un polinomio cuadrático, deducimos que se trata de una cónica; como podemos completar cuadrados para expresarlo como $(x-y)^2+y^2=100$ y ambos cuadrados tienen coeficientes positivos, deducimos que se trata de una elipse; como no tiene términos lineales en $x$ o $y$, deducimos que está centrada en el origen, aunque no tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas por tener término en $xy$. Ahora bien, al variar $a$ en $[-10,10]$ se ve fácilmente que se recorren todos los puntos de la elipse una vez se ha añadido el caso en que $B$ recorre el semieje $OY$ negativo.

Nota. Hemos supuesto que cuando $A$ y $B$ están en los semiejes positivos, el cuadrado está enteramente contenido en el primer cuadrante. Existe otra posibilidad que es suponer que en ese caso el cuadrado mira hacia el otro lado. No obstante, en tal caso, los lugares geométricos que nos piden serían simétricos de los obtenidos ya que se trataría simplemente de girar $90^\circ$ la figura.

Solución. Por un lado, podemos reescribir la condición que nos dan como \[b^3+b^2(a+c)-b(a^2+c^2-ac)=a^3+c^3=(a+c)(a^2+c^2-ac),\] lo que nos permite deducir que \[(a+b+c)(b^2-a^2-c^2+ac)=0.\] Como quiera que el perímetro $a+b+c$ no puede ser cero, tendrá que ser $b^2=a^2+c^2-ac$, ecuación que nos recuerda al teorema del coseno $b^2=a^2+c^2-2ac\cos(B)$, de donde obtenemos que $B=\frac{\pi}{3}$ (estamos midiendo en radianes, aunque veremos que no es relevante).

Ahora bien, si en la igualdad a la que queremos llegar pasamos todo al miembro de la izquierda y ponemos denominador común, tenemos que \[\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}+\frac{1}{\sqrt{B}+\sqrt{C}}-\frac{2}{\sqrt{A}+\sqrt{C}}=\frac{A-2B+C}{(\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{B}+\sqrt{C})(\sqrt{A}+\sqrt{C})}=0,\] dado que $B=\frac{\pi}{3}$ y, por tanto, $A+C=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$, de donde $A-2B+C=0$.