Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Los triángulos $OPX$ y $OP'X$ son semejantes porque son rectángulos y tienen un ángulo en común en $X$ (opuesto por el vértice). La razón de semejanza es la razón de los radios, luego si escribimos $A$ para el área de $OPX$, entonces $4A$ es el área de $O'P'X$. Por el teorema de Pitágoras, se tiene fácilmente que $O'P=2\sqrt{2}$ y $OP'=\sqrt{5}$, luego los triángulos rectángulos $OPO'$ y $OP'O'$ tienen áreas $\sqrt{2}$ y $\sqrt{5}$, respectivamente. Si llamamos $S$ al área del triángulo $OXO'$ que estamos buscando, esto nos da \begin{align*} \text{Area}(OXO')+\text{Área}(OPX)=\text{Área}(OPO')&\ \Leftrightarrow\ S+A=\sqrt{2},\\ \text{Area}(OXO')+\text{Área}(O'P'X)=\text{Área}(OP'O')&\ \Leftrightarrow\ S+4A=\sqrt{5}, \end{align*} de donde resolvemos \[S=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}.\]

Solución. Sea $\alpha=\angle XPX'$. Por la propiedad del arco capaz en $C$ tenemos que $\angle X'QR=180^\circ-\alpha$ y viendo este ángulo ahora en $C'$ tenemos que $\angle R'QX=180^\circ-\alpha$. Además, tenemos que $\angle R'QR=\alpha$ por simetría. Todo esto nos lleva a que $\angle X'QR'=\angle R'QR=\angle RQX'=\alpha$. Como los tres puntos $X,Q,X'$ están alineados, deducimos que $\alpha=60^\circ$ ya que los tres ángulos iguales anteriores suman $180^\circ$ en tal caso (ver las rectas dibujadas en naranja en la figura).

En cuanto al apartado (b), la relación que nos piden probar se puede expresar equivalentemente como $d^2=rr'+(r-r')^2=r^2+(r')^2-rr'$. Por comparación con el teorema del coseno, esto quiere decir que un triángulo de lados $d,r,r'$ tiene ángulo opuesto al lado $d$ de $60^\circ$. El triángulo $OPO'$ tiene estos lados, luego el resultado equivale a probar que $\angle OPO'=60^\circ$. Usando el arco capaz, la simetría de la figura y los ángulos centrales, así como la alineación de $X,Q,X'$ tenemos que \begin{align*} \angle PX'X&=\angle PBQ=2\angle PBR=\angle POO',\\ \angle PXX'&=\angle PAQ=2\angle PAO=\angle PO'O. \end{align*} Por lo tanto, $PXX'$ y $POO'$ son semejantes y, en particular, $\angle OPO'=\angle X'PX=60^\circ$.