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Problema 991
OIM, 2014-P2
Una recta $r$ contiene los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ en ese orden. Sea $P$ un punto fuera de $r$ tal que $\angle APB=\angle CPD$. Probar que la bisectriz de $\angle APD$ corta a $r$ en un punto $G$ tal que
\[\frac{1}{GA}+\frac{1}{GC}=\frac{1}{GB}+\frac{1}{GD}.\]
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Problema 989
Sean $M$ y $N$ puntos del lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $BM=CN$, estando $M$ en el interior del segmento $BN$. Sean $P$ y $Q$ puntos que están respectivamente en los segmentos $AN$ y $AM$, tales que $\angle PMC=\angle MAB$ y $\angle QNB=\angle NAC$. ¿Es cierto que $\angle QBC=\angle PBC$?
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Problema 985
En el triángulo $ABC$, sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto del circuncentro de $ABC$. Demostrar que
- La suma de los cuadrados de los segmentos de tangentes trazadas desde $A$ y $A'$ a la circunferencia inscrita en $ABC$ es igual a $4R^2-4Rr-2r^2$, siendo $R$ y $r$ los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita de $ABC$, respectivamente.
- La circunferencia de centro $A'$ y radio $A'I$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un punto $L$ tal que $AL=\sqrt{AB\cdot AC}$.
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Problema 981
El triángulo $\Delta ABC$ es isósceles en $C$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ y sea $N$ el punto donde la paralela a $AB$ por $M$ vuelve a cortar a $\Gamma$. Se sabe que $AN$ es paralela a $BC$. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de $\Delta ABC$?
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Pista. Usa las propiedades del arco capaz y el paralelismo.
Solución. Sea $\alpha=\angle ACB$, luego $\angle ANB=\alpha$ por arco capaz en $\Gamma$ y $\angle NBC=\alpha$ por el paralelismo entre $AN$ y $CB$. Sin embargo, por la simetría de la figura, se tiene que $N$ es el punto medio del arco $BC$, luego $\angle ABC=2\angle CBA=2\alpha$. Finalmente, por ser $ABC$ isósceles, se tiene que $\angle CAB=2\alpha$. Sumando los ángulos de $ABC$ obtenemos $5\alpha=180^\circ$, luego $\alpha=36^\circ$.
Hemos probado así que los ángulos de $ABC$ son $36^\circ,72^\circ, 72^\circ$.
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Problema 978
En una recta tenemos cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden, de forma que $AB=CD$. El punto $E$ es un punto fuera de la recta tal que $CE=DE$. Demostrar que $\angle CED=2\angle AEB$ si, y solo si, $AC=EC$.
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Pista. Se puede relacionar lo que tienes que demostrar con la propiedad del arco capaz y el ángulo central.
Solución. Consideremos la circunferencia que pasa por $A$, $B$ y $E$ y sea $O$ su centro. Si denotamos por $\alpha=\angle AEB$, entonces se tiene que $\angle AOB=2\alpha$ por la propiedad del ángulo central. Veamos con esto la doble implicación:
- Si $\angle CED=2\angle AEB$, entonces $\angle CED=\angle AOB$. Los triángulos $AOB$ y $CED$ son congruentes porque son isósceles, tienen los mismos ángulos y $AB=CD$. Por lo tanto, $AOEC$ es un paralelogramo y se tiene que $AC=OE=OA=EC$.
- Recíprocamente, si suponemos que $AC=EC$, consideremos el punto $O'$ tal que $AO'EC$ es un paralelogramo. Como $AB=CD$ y $AC=EC$, se tiene que $O'A=O'B=O'E$, luego $O'=O$ y se deduce que $\angle CED=\angle AOB=2\alpha$ por la propiedad del ángulo central.
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