Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $S$ una esfera de radio $1$ y $P$ un plano que pasa por su centro. Para cualquier punto $x$ de la esfera, denotamos por $f(x)$ a la distancia desde $x$ a $P$.

1. Demostrar que si $x,y,z$ son los extremos de tres radios de $S$ mutuamente perpendiculares, entonces $f(x)^2+f(y)^2+f(z)^2=1$.
2. Sea $g:S\to\mathbb{R}$ una función que toma valores mayores o iguales que $0$ y cumple que $g(x)^2+g(y)^2+g(z)^2=1$ para cualesquiera extremos de radios de $S$ mutuamente perpendiculares. Si $g(x)=1$ siempre que $f(x)=1$, demostrar que $g(x)=f(x)$ para todo $x\in S$.

La circunferencias $C_1,C_2,C_3$ tienen el mismo radio y pasan todas ellas por un punto $X$. Llamamos $Y_{ij}$ al otro punto de intersección de $C_i$ y $C_j$. Demostrar que \[\angle XO_1Y_{12}+\angle XO_2Y_{23}+\angle XO_3Y_{31}=180^\circ,\] donde $O_i$ denota el centro de la circunferencia $C_i$.

Tres moscas se desplazan a lo largo del perímetro de un triángulo de forma que el baricentro del triángulo que forman queda fijo y al menos una de las moscas recorre todo el perímetro del triángulo. Demostrar que dicho baricentro coincide con el baricentro del triángulo original.

Nota. No se asume que las moscas tengan la misma masa ni que se desplacen a la misma velocidad ni que sus velocidades sean constantes.

Se considera una familia finita de polígonos en el plano tales que dos cualesquiera de ellos tienen algún punto en común. Demostrar que existe una recta que corta a todos los polígonos.

Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, consideremos los puntos medios de las seis diagonales $AC,BD,CE,DF,EA,FB$. Demostrar que estos puntos medios son vértices de un hexágono convexo con área $\frac{1}{4}$ del área del hexágono original.