Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Probar que, en cualquier tetraedro, el radio $r$ de la esfera inscrita satisface \[ r < \frac{ab}{2(a+b)}, \] donde $a$ y $b$ son las longitudes de un par cualquiera de aristas opuestas.

Una línea poligonal con un número finito de segmentos tiene todos sus vértices sobre una parábola. Cualesquiera dos segmentos consecutivos forman ángulos iguales con la tangente a la parábola en su punto de intersección. Uno de los extremos de la línea poligonal está también sobre el eje de la parábola. Demostrar que los demás vértices de la línea poligonal se encuentran todos en el mismo lado del eje.

Una línea poligonal conecta dos vértices opuestos de un cubo de arista $2$. Cada segmento de la línea tiene longitud $3$ y cada vértice se encuentra sobre las caras (o aristas) del cubo. ¿Cuál es el menor número de segmentos que puede tener la poligonal?

En un triángulo acutángulo $ABC$ se trazan las alturas $BD$ y $CE$. Sean $F$ y $G$ los puntos de la recta $ED$ tales que $BF$ y $CG$ son perpendiculares a $ED$. Probar que $EF = DG$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las tangentes a la circunferencia circunscrita en $A$ y $C$ cortan a la tangente en $B$ en $M$ y $N$, respectivamente. La altura desde $B$ corta a $AC$ en $P$. Demostrar que $BP$ biseca el ángulo $\angle MPN$.