Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y tomemos un punto $X$ en el lado $AB$. Las rectas $AC$ y $DX$ se cortan en $Y$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de $ABC$, $CDY$ y $BDX$ tienen un punto común.

El punto $P$ está dentro del triángulo $ABC$. Se traza una recta por $P$ paralela a cada lado del triángulo. Estas rectas dividen $AB$ en tres partes de longitudes $c, c', c''$, a $BC$ en tres partes de longitudes $a, a', a''$, y a $CA$ en tres partes de longitudes $b, b', b''$, en ese orden (como se muestra en la figura). Probar que \[abc = a'b'c' = a''b''c''.\]

La recta que une los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo forma ángulos iguales con las diagonales. Demostrar que ambas diagonales tienen necesariamente la misma longitud.

Sea un polígono convexo tal que cualquier segmento que lo divida en dos partes de igual área y que tenga al menos un extremo en un vértice tiene longitud menor que $1$. Probar que el área del polígono es menor que $\tfrac{\pi}{4}$.