Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle BAC=45^\circ$ y sea $P$ el pie de la altura que pasa por $B$. Trazamos la circunferencia de centro $P$ que pasa por $C$ y que vuelve a cortar a $AC$ en el punto $X$ y a la altura $PB$ en el punto $Y$. Sean $r$ y $s$ las rectas perpendiculares a la recta $AY$ por $P$ y $X$, respectivamente, y $L$ y $K$ las respectivas intersecciones de $r$ y $s$ con $AB$. Demostrar que $L$ es el punto medio de $KB$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es el ortocentro de $ABC$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita con los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Supongamos que $C_1,C_2,C_3$ son circunferencias con cuerdas $YZ,ZX,XY$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se cortan sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Suponga que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC=2\angle BCA$ y $\angle CAB\gt 90^\circ$. Sean $D$ el punto de la recta $AB$ tal que $CD$ es perpendicular a $AC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle AMB=\angle DMC$.

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio tales que no hay ningún plano que pasa por los cuatro a la vez. Los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ son tangentes a una misma esfera. Demuestra que los cuatro puntos de tangencia están en un mismo plano.