Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $M$ el punto medio de $CD$, de forma que $EM$ es una altura del triángulo isósceles $CDE$. El ángulo $\alpha=\angle CED$ verifica que $\mathrm{tan}(\frac{\alpha}{2})=\frac{CM}{EM}$. El ángulo será máximo cuando la tangente sea máxima, es decir, cuando $EM$ sea mínimo ya que $CM$ no depende de dónde hayamos puesto el punto $E$. Ahora podemos restringirnos al plano que contiene al triángulo $ABM$. El segmento $EM$ está en este plano y su longitud será mínima cuando $EM$ sea perpendicular a $AB$, es decir, cuando $EM$ sea una altura de $ABM$, que coincide con la mediatriz por ser $ABM$ isósceles. Concluimos que el ángulo $\angle CED$ es máximo cuando $E$ es el punto medio de $AB$.

Nota. Usando el seno en lugar de la tangente, también puede razonarse de forma similar que lo que hay que minimizar es la longitud de $CE$, lo que nos lleva a que ha de ser perpendicular a $AC$ y $E$ tiene que ser el punto medio.

Solución. Si reflejamos repetidamente el triángulo respecto de sus lados, entonces la poligonal que forma la trayectoria del rayo se vuelve una línea recta ya que el ángulo de incidencia es el de reflexión. Como nos dicen que se refleja primero respecto de $AB$, luego $AC$ y por último $BC$, estas son las reflexiones que debemos hacer y que hemos dibujado en la figura. Vemos así que hay una única forma hacer los rebotes para que se cumpla la condición del enunciado y ahora solamente hay que calcular su longitud.

Para ello, observamos que $OBA'$ es un triángulo rectángulo ya que $OB$ es una altura del triángulo equilátero y $BA'$ es paralela al lado opuesto. Además, se tiene que $OB=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (dos tercios de la altura) y $BA'=2$ (dos veces el lado), luego el teorema de Pitágoras nos da la distancia que buscamos: \[OA'=\sqrt{\left(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+2^2}=\frac{\sqrt{39}}{3}.\]

Solución. Sean $a$ la hipotenusa y $b$ y $c$ los catetos. Vamos a plantear un sistema de tres ecuaciones para obtener sus valores. Por un lado, tenemos la condición sobre el perímetro $a+b+c=96$ y la condición sobre la altura podemos escribirla calculando el área de dos formas distintas como base por altura entre $2$, esto es, se tiene que $\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}bh$. Finalemente, la tercera ecuación nos la da el teorema de Pitágoras $a^2=b^2+c^2$. Tenemos, pues, el siguiente sistema: \[\left\{\begin{array}{l}a+b+c=96\\bc=\frac{96}{5}a\\a^2=b^2+c^2\end{array}\right.\] Sumando dos veces la segunda ecuación a la tercera para completar el cuadrado y despejando $b+c$ de la primera, obtenemos una ecuación que sólo involucra a $a$: \[a^2+\frac{192}{5}a=b^2+c^2+2bc=(b+c)^2=(96-a)^2.\] Esta ecuación es de primer grado y nos da fácilmente $a=40$. Ahora las dos primeras ecuaciones del sistema nos dicen que $b+c=56$ y $bc=\frac{96}{5}\cdot 40=768$. Teniendo la suma y el producto, sabemos que $b$ y $c$ son las soluciones de la ecuación $x^2-56x+768=0$. Esta se resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado y nos da las soluciones $x=24$ y $x=32$. Deducimos que los lados del triángulo rectángulo tienen longitudes 24, 32 y 56.