Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una sucesión $P_1,P_2,\ldots,P_n$ de puntos en el plano (no necesariamente distintos) es carioca si existe una permutación $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de los números $1,2,\ldots,n$ para la que los segmentos \[P_{a_1}P_{a_2},\quad P_{a_2}P_{a_3}, \ldots\quad P_{a_n}P_{a_1}\] son todos de la misma longitud. Determinar el mayor número $k$ tal que para cualquier sucesión de $k$ puntos en el plano, se pueden añadir $2023-k$ puntos de modo que la sucesión de $2023$ puntos es carioca.

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos en el plano. Para cada punto $A$ del plano que no pertenece a la recta $BC$, sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$. Hallar el lugar geométrico de los puntos $A$ tales que $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el semiplano definido por $BC$ que contiene a $A$, tales que $BP$ y $CQ$ son tangentes a $\Gamma$ con $PB = BC = CQ$. Sean $K$ y $L$ puntos distintos de $A$ en la bisectriz externa del ángulo $\angle CAB$, tales que $BK = BA$ y $CL = CA$. Sea $M$ el punto de corte de las rectas $PK$ y $QL$. Demostrar que $MK = ML$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $D$ un punto en el arco menor $BC$, con $DB\gt DC$. La mediatriz de $OD$ corta a $\Gamma$ en $E$ y $F$, estando $E$ en el arco menor $BC$. Sea $P$ el punto de corte de $BE$ y $CF$. Demostrar que $PD$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X\neq C$. La recta $BX$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP = YA$, con $P\neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demostrar que $F$ es el punto medio de $PQ$.