Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $O$ el centro de una de las esferas de radio $r$, $C$ el centro de una de las esferas de radio $R$ y $T$ el punto de tangencia de las dos esferas de radio $r$. Por la simetría de la figura, es evidente que $OCT$ es un triángulo rectángulo con ángulo recto en $T$. Como $T$ es un punto de la esfera de centro $O$, tenemos que $OT=r$; por la tangencia de las esferas de centros $O$ y $C$, tenemos que $OC=R+r$; finalmente, como los centros de las esferas de radio $R$ forman un triángulo equilátero de centro $T$ y lado $2R$, se tiene que $CT$ es $\frac{2}{3}$ de la altura de dicho triángulo, es decir $CT=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2R=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$. El teorema de Pitágoras nos dice entonces que \[OC^2=OT^2+CT^2\ \Longleftrightarrow\ (R+r)^2=r^2+\tfrac{4}{3}R^2\ \Longleftrightarrow\ 2Rr=\tfrac{1}{3}R^2\ \Longleftrightarrow\ R=6r.\] Esta es la relación buscada (observemos que se ha descartado la solución $R=0$ ya que no es posible en este problema).

Solución. Sea $O_1$ el centro de $C_1$, que está sobre la bisectriz de las semirrectas dadas. Entonces, para pasar de la circunferencia $C_1$ a $C_2$, podemos hacer una homotecia de centro $O$ que lleva uno de los puntos de corte de $C_1$ con la bisectriz en el otro. Como el punto más alejado está a distancia $d_1+r_1$ y el más cercano a distancia $d_1-r_1$, la razón de la homotecia es $\lambda=\frac{d_1-r_1}{d_1+r_1}$. Como la homotecia transforma las áreas en un factor $\lambda^2$ y lleva cada circunferencia $C_k$ en $C_{k+1}$, tenemos que \[\sum_{k=1}^n\mathrm{Area}(C_k)=\sum_{k=1}^n\lambda^{2k-2}\mathrm{Area}(C_1)=\frac{\pi r_1^2(1-\lambda^{2n+2})}{1-\lambda^2},\] donde hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. En el límite de esta suma cuando $n\to\infty$ el término $\lambda^{2n+2}$ tiene límite $0$ (ya que $0\lt \lambda\lt 1$) y el resultado es \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty\mathrm{Area}(C_k)&=\frac{\pi r_1^2}{1-\lambda^2}=\frac{\pi r_1^2(d_1+r_1)^2}{(d_1+r_1)^2-(d_1-r_1)^2}\\ &=\frac{\pi r_1^2(d_1+r_1)^2}{4r_1d_1}=\frac{\pi r_1}{4d_1}(d_1+r_1)^2. \end{align*}