Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo acutángulo $ABC$ se trazan las alturas $BD$ y $CE$. Sean $F$ y $G$ los puntos de la recta $ED$ tales que $BF$ y $CG$ son perpendiculares a $ED$. Probar que $EF = DG$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las tangentes a la circunferencia circunscrita en $A$ y $C$ cortan a la tangente en $B$ en $M$ y $N$, respectivamente. La altura desde $B$ corta a $AC$ en $P$. Demostrar que $BP$ biseca el ángulo $\angle MPN$.

En el triángulo $ABC$, el ángulo $\angle C$ es obtuso y $D$ es un punto fijo en el lado $BC$, distinto de $B$ y de $C$. Para cualquier punto $M$ en el lado $BC$, distinto de $D$, la semirrecta $AM$ corta a la circunferencia circunscrita $S$ de $ABC$ en $N$. La circunferencia que pasa por $M$, $D$ y $N$ corta nuevamente a $S$ en $P$, siendo $P$ distinto de $N$. Determinar la posición del punto $M$ que minimiza la distancia $MP$.

Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralelo a $CD$, está inscrito en una circunferencia fija y varía dejando también fijo el segmento $AC$. Si denotamos por $h$ a la distancia entre los puntos medios de $AC$ y $BD$ y por $k$ a la distancia entre los puntos medios de $AB$ y $CD$, demostrar que la razón entre $h$ y $k$ permanece constante.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $Q$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$. Sea $Q'$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los otros dos lados $BC$ y $DA$. Si $Q$ y $Q'$ tienen la misma área, demostrar que una de las dos diagonales de $ABCD$ lo divide en dos triángulos de la misma área.