Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 2191
ASU, 1975-P7
Se considera una familia finita de polígonos en el plano tales que dos cualesquiera de ellos tienen algún punto en común. Demostrar que existe una recta que corta a todos los polígonos.
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Problema 2189
ASU, 1975-P5
Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, consideremos los puntos medios de las seis diagonales $AC,BD,CE,DF,EA,FB$. Demostrar que estos puntos medios son vértices de un hexágono convexo con área $\frac{1}{4}$ del área del hexágono original.
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Problema 2185
ASU, 1975-P1
- Rotamos un triángulo $ABC$ respecto de su circuncentro para obtener un nuevo triángulo $A'B'C'$. Las rectas $AB$ y $A'B'$ se cortan en $C''$, las rectas $BC$ y $B'C'$ se cortan en $A''$ y las rectas $CA$ y $C'A'$ se cortan en $B''$. Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A''B''C''$ son semejantes.
- Rotamos un cuadrilátero cíclico $ABCD$ respecto del centro de su circunferencia circunscrita para obtener un nuevo cuadrilátero $A'B'C'D'$. Demostrar que los puntos de intersección de los lados homólogos forman un paralelogramo.
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Problema 2184
ASU, 1974-P16
Sean $ABC$ un triángulo de área $1$ y $D,E,F$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Tomamos puntos $P,Q,R$ en los segmentos $BF,CD,AE$, respectivamente. ¿Cuál es el menor área posible para la intersección de los triángulos $DEF$ y $PQR$?
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Problema 2183
ASU, 1974-P14
Tenemos un polígono convexo tal que ningún triángulo de área $1$ puede colocarse dentro de él, incluso tocando el borde. Demostrar que el polígono puede colocarse dentro de un triángulo de área $4$.
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