Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos sobre los lados $BC,AC, AB$, respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY$, $BXZ$ y $CYX$. Demostrar que \[\mathrm{Area}(A'B'C')\geq\frac{1}{4}\mathrm{Area}(ABC)\] y que la igualdad se cumple si, y sólo si, las rectas $AA',BB',CC'$ tienen un punto en común.

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $r$ la bisectriz externa del ángulo $\angle ABC$. Se consideran $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $r$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Las rectas $CP$ y $AB$ se intersecan en $M$ y las rectas $AQ$ y $BC$ se intersecan en $N$. Demostrar que las rectas $AC$, $MN$ y $r$ tienen un punto en común.

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satsifacen las siguientes condiciones:

1. los lados opuestos de $H$ son paralelos,
2. tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho $1$.

Determinar el menor número real $\ell$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $\ell$.

Nota: una franja de ancho $\ell$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $\ell$ (incluídas ambas rectas).

Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ la intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$ y $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$, siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demostrar que $AK$ corta a $X_2X_3$ en su punto medio.

Dada una circunferencia $\Gamma$, se considera un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $\Gamma$, con $AD$ tangente a $\Gamma$ en $P$ y $CD$ tangente a $\Gamma$ en $Q$. Sean $X$ e $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $\Gamma$ y $M$ el punto medio de $XY$. Demostrar que $\angle AMP=\angle CMQ$.