Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que los puntos son $A=(a,a^2)$ y $B=(b,b^2)$ con $a\lt b$. Teniendo en cuenta que la derivada de $x^2$ es $2x$, podemos calcular las expresiones $y=2ax-a^2$ e $y=2bx-b^2$ de las rectas tangentes. Es fácil resolver el sistema para obtener que estas tangentes se cortan en el punto $C=(\frac{a+b}{2},ab)$. Por otro lado, el punto medio de $AB$ es $M=(\frac{a+b}{2},\frac{a^2+b^2}{2})$, luego la recta $CM$ tiene ecuación $x=\frac{a+b}{2}$ (se trata de una recta vertical). El área de $ABC$ es el área de $BCM$ más el área de $ACM$, que pueden calcularse como un medio de la mediana $m=CM$ por las alturas respecto de este lado, que son rectas horizontales. Estas alturas son, de hecho, la diferencia de las primeras coordenadas de $B$ y $M$ y de $A$ y $M$. Tenemos entonces que el área que nos piden es \[\mathrm{Área}(ABC)=\mathrm{Área}(BCM)+\mathrm{Área}(ACM)=\tfrac{1}{2}m(b-\tfrac{a+b}{2})+\tfrac{1}{2}m(\tfrac{a+b}{2}-a)=\tfrac{1}{2}m(b-a).\] Ahora bien, tenemos también que $m=\frac{a^2+b^2}{2}-ab=\frac{1}{2}(b-a)^2$, de donde podemos despejar $b-a=\sqrt{2m}$. Con todo esto, podemos expresar el área únicamente en función de $m$ como nos piden: \[\mathrm{Área}(ABC)=\frac{\sqrt{2}}{2}m^{3/2}.\]

Solución. Consideremos los puntos $P$ y $Q$ indicados en la figura de abajo. Por simetría, el área se descompone en $8$ triángulos congruentes a $OPQ$. Este último triángulo, sombreado en la figura, tiene base $PQ$ y altura $\frac{1}{2}$, luego el área que nos piden es $S=8\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot PQ=2 PQ$ y será suficiente calcular la longitud de $PQ$ en función de $\alpha=\angle A'PQ$.

Por la simetría de la figura y usando trigonometría en el triángulo $A'PQ$, obtenemos que $BP=A'P=PQ\cos\alpha$. Análogamente, tenemos que $AQ=A'Q=PQ\operatorname{sen}\alpha$, con lo que \[1=AB=AQ+PQ+BP=PQ(1+\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha).\] Esto nos lleva a la solución del problema \[S=2PQ=\frac{2}{1+\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha}.\]

Nota. La solución presupone que $\alpha\in[0,90]$ implícitamente. Para un valor de $\alpha$ general, por la simetría de la construcción basta reducirlo módulo $90$ a un ángulo de dicho intervalo.