Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que los puntos son $A=(a,a^2)$ y $B=(b,b^2)$ con $a\lt b$. Teniendo en cuenta que la derivada de $x^2$ es $2x$, podemos calcular las expresiones $y=2ax-a^2$ e $y=2bx-b^2$ de las rectas tangentes. Es fácil resolver el sistema para obtener que estas tangentes se cortan en el punto $C=(\frac{a+b}{2},ab)$. Por otro lado, el punto medio de $AB$ es $M=(\frac{a+b}{2},\frac{a^2+b^2}{2})$, luego la recta $CM$ tiene ecuación $x=\frac{a+b}{2}$ (se trata de una recta vertical). El área de $ABC$ es el área de $BCM$ más el área de $ACM$, que pueden calcularse como un medio de la mediana $m=CM$ por las alturas respecto de este lado, que son rectas horizontales. Estas alturas son, de hecho, la diferencia de las primeras coordenadas de $B$ y $M$ y de $A$ y $M$. Tenemos entonces que el área que nos piden es \[\mathrm{Área}(ABC)=\mathrm{Área}(BCM)+\mathrm{Área}(ACM)=\tfrac{1}{2}m(b-\tfrac{a+b}{2})+\tfrac{1}{2}m(\tfrac{a+b}{2}-a)=\tfrac{1}{2}m(b-a).\] Ahora bien, tenemos también que $m=\frac{a^2+b^2}{2}-ab=\frac{1}{2}(b-a)^2$, de donde podemos despejar $b-a=\sqrt{2m}$. Con todo esto, podemos expresar el área únicamente en función de $m$ como nos piden: \[\mathrm{Área}(ABC)=\frac{\sqrt{2}}{2}m^{3/2}.\]